Тема: «Преобразование тригонометрических выражений».
Цель: систематизировать знания, полученные при изучении темы
«Тригонометрические формулы».
Задачи: 1) обобщить и систематизировать знания, полученные при изучении темы
«Тригонометрические формулы»;
2) выделить общие методы и приемы решения задач, указав в них
стандартные приемы;
3) продолжить формирование навыка преобразований тригонометрических
выражений;
4) развивать память, внимание, познавательную активность, грамотную
математическую речь;
5) воспитывать интерес к предмету, самостоятельность, ответственность,
взаимопомощь.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.
Формы работы: индивидуальная, групповая.
Методы работы: словесный, объяснительно-иллюстративный, самостоятельная
работа обучающихся.
Оборудование: раздаточный материал, мультимедиа.
Ход урока.
I. Организационный момент. Сообщение темы, цели и плана урока.
Учитель | Ученик |
Сегодня мы продолжим работу по теме «Тригонометрические формулы» Запишите число и тему урока. Эпиграфом к нашему уроку я взяла слова Конфуция: “Три пути ведут к знанию: путь РАЗМЫШЛЕНИЯ – это путь самый благородный, путь ПОДРАЖАНИЯ – это путь самый легкий и путь ОПЫТА – это путь самый горький”. На уроке вы должны показать свои знания по данной теме, т.е. знание определений, формул; а так же умение применять эти знания при решении задач. Урок пройдет по следующему плану: | Записывают число и тему урока |
II. Фронтальный опрос по теме.
Цель: повторить теоретический материал по теме.
Учитель | Ученик |
Начнем свою работу с повторения теоретического материала. Задание №1. Ответьте пожалуйста на мои вопросы. 1. Дайте определение синуса любого угла. 2. Дайте определение косинуса любого угла. 3. В каких координатных четвертях синус положительный? 4. В каких координатных четвертях косинус меньше нуля? 5. Каким должен быть острый угол, чтобы синус и косинус его были равны? 6. Дайте определение тангенса. 7. Дайте определение котангенса. 8. В каких координатных четвертях синус и котангенс имеют одинаковые знаки? 9. В какой координатной четверти лежит угол, если выполняется следующее условие: а) Є (п; ) б) Є (- ; ) в) - < < п г) < < 3п ? 10. Вычислить: + ; tg ( п - ) | 1. Синусом любого угла называется ордината точки. 2. Косинусом любого угла называется абсцисса точки. 3. Синус положительный в I и II координатных четвертях. 4. Косинус меньше нуля во II и III координатных четвертях. 5. Чтобы синус и косинус были равны, острый угол должен быть равен 45°. 6.Тангенсом называют отношение ординаты точки к её абсциссе. 7. Котангенсом называют отношение абсциссы точки к её ординате. 8. Синус и котангенс имеют одинаковые знаки в I и IV координатных четвертях. 9. а) Є III б) Є I,IV в) Є I,II,IV г) Є II 10. (II) =0,5 - tg (II) = - 1 |
Учитель | Ученик |
Задание №2. Повторим тригонометрические тождества. Выберите формулы с ошибкой. 1. sin²x + cos²x = 1 2. tg x = sin x /cos x 3. tg x = cos x /sin x 4. tg x × ctg x = - 1 5. tg²x + 1 = 1/sin²x 6. ctg²x + 1 = 1/sin²x Задание №3. Повторим тригонометрические формулы. Проведем индивидуальную работу по вариантам. У каждого из вас на столе лежит карточка. Левый столбик - это часть формулы, правый столбик – вторая часть формулы, записана вразброс. Ваша задача: соединить части так, чтобы получилась верная формула. Заполнить таблицу ответов. Для первого варианта вы получите зашифрованное слово – имя ученого, который в 15 веке применял для понятия «косинус» термин «дополнительный синус», т.е. синус дополнительной дуги. Второй вариант получит имя ученого, который в 14 веке для Европы открыл заново понятия «тангенс» и «котангенс». Проверьте и запишите в тетрадь имена этих ученых. | С ошибкой записаны 4 и 5 тождества. Верная запись: 4. tg x × ctg x = 1 5. tg²x + 1 = 1/cos²x 1 вариант Региомонтан 2 вариант Брадвардин Записывают в тетрадь: Региомонтан – нем. Ученый, в 15 веке ввел понятие косинуса как дополнительного синуса. Томас Брадвардин – англ. ученый, в 14 веке вновь открыл тангенс и котангенс. |
I вариант | ||
а | ||
г | ||
е | ||
и | ||
м | ||
н | ||
о | ||
н | ||
о | ||
р | ||
т |
Слово | р | е | г | и | о | м | о | н | т | а | н |
II вариант | ||
а | ||
б | ||
а | ||
в | ||
д | ||
и | ||
д | ||
н | ||
р | ||
р |
слово | б | р | а | д | в | а | р | д | и | н |
III. Решение задач по теме.
Цель: выделить общие методы и приемы решения задач, указав в них
стандартные приемы, формировать навык преобразования
тригонометрических выражений.
Переходим к следующему этапу урока На этом этапе урока мы попытаемся
выделить общие методы и приемы решения задач. Первая группа получила задание систематизировать упражнении на применение тригонометрических формул. Пожалуйста, мы слушаем вас.
Доска | Тетрадь |
Рассмотрев различные задания по теме «Преобразование тригонометрических выражений», мы разделили их условно на четыре группы. Задание №1. Вычислите: а) (на доске) б) tg (на доске) в) (самостоятельно) г) (самостоятельно) Проверьте себя, задайте вопросы, если что-то не понятно. (Решение выводится на экран) Задание №2. Найдите значение выражения: а) + (на доске) б) ( (на доске) в) (на доске) г) (у доски) д) - (самостоятельно) е) - (самостоятельно) ж) (самостоятельно) з) (самостоятельно) Проверьте себя, задайте вопросы, если что-то не понятно. (Решение выводится на экран) Задание №3. Найдите значение одной функции, зная значение другой. а) Зная, что = , 0 < найдите (у доски) б) Зная, что = - 0,6, < найдите tg2 (вызвать к доске ученика) Задание №4. Упростите выражение: а) (1 - )(tg² + 1) (у доски) б) (у доски) в) - (вызвать к доске ученика) г) (вызвать к доске ученика) | Задание №1. а) = = ∙ + ∙ = б) tg = tg (п - ) = - tg = в) = - = = ∙ + ∙ = г) = ) = = а) + = = б) ( - 2 = = 1 - 1 – 0,5 = 0,5 в) = tg = 1 г) = = = - tg 45° = - 1 д) – = = = 1 е) - = = ж) = tg150° = - з) = = = tg120° = - а) = = = = = = - = - = - б) = = = = = 0,8 tg = = 0,8 : (-0,6) = tg2 = = - :(- ) = а) (1 - )(tg² + 1) = · = = 1 б ) = = = = в) - = - - = г) = = = tg |
Вторая группа получила задание выбрать из вариантов ЕГЭ задания по теме «Тригонометрические формулы». Пожалуйста, мы слушаем вас.
По теме «Тригонометрические формулы» задания встречаются в №9, это задания с кратким ответом из I части. Мы разобрали типовые варианты и составили алгоритм решения.
Задание №1. Найдите , если = 0,8 и п <
Алгоритм решения: 1. Найти значение синуса данного угла.
2. Вычислить значение.
3. Записать ответ.
Решение: 1. Угол лежит в третьей или четвертой четвертях, значит синус угла
отрицательный. Воспользуемся основным тригонометрическим
тождеством.
2. По формуле синуса двойного угла =2·(-0,8)·0,6 = = - 0,96
3. Ответ: - 0,96
Задание №2. Найдите - 25 если = - 0,6
Алгоритм решения: 1. Преобразовать формулу косинуса двойного угла.
2. Вычислить косинус.
3. Записать ответ.
Решение: 1.Преобразуем формулу косинуса двойного угла
- 25 = - 25 - ) = - 25(2 - 1)
2. Вычисляем косинус искомого угла 2
- 25(2·(-0,8)² - 1) = - 25(1,28 – 1) = - 7
3. Ответ: - 7
Задание №3. Найдите значение выражения 46
Алгоритм решения: 1. Воспользоваться свойствами тригонометрических функций
для определения значений синуса и косинуса заданных
углов.
2. Вычислить значение выражения.
3. Записать ответ.
Решение: 1. Воспользуемся формулами: ;
2. Получаем 46 = - 46 = - 46 · =
= - 23
3. Ответ: - 23
Задание №4. Вычислите:
Алгоритм решения: 1. Воспользоваться формулой приведения.
2. Вычислить значение выражения.
3. Записать ответ.
Решение: 1. Воспользуемся формулой приведения
= =
2. Получаем = = 5
3. Ответ: 5
Задание №5. Вычислите:
Алгоритм решения: 1. Воспользоваться формулой косинус двойного угла.
2. Вычислить значение выражения.
3. Записать ответ.
Решение: 1. Воспользуемся формулой косинус двойного угла
= °
2. Получаем = = 24
3. Ответ 24
Задание №6. Вычислите:
Алгоритм решения: 1. Воспользоваться формулой приведения.
2. Применить основное тригонометрическое тождество.
3. Вычислить значение выражения.
4. Записать ответ.
Решение: 1. Воспользуемся формулой приведения
= =
2. Применим основное тригонометрическое тождество
= 1
3. Получаем = 11,5
4. Ответ: 11
Для самостоятельного рассмотрения мы подготовили следующие упражнения:
Эти упражнения будут вашим домашним заданием.
Третья группа получила задание подготовить сообщение по теме: «Тригонометрия вокруг нас». Мы слушаем вас.
IV. Рефлексия. Подведение итогов урока. Домашнее задание.
Учитель | Ученик |
Подведем итог нашей работы. Сегодня на уроке мы обобщили знания, полученные при изучении темы «Тригонометрические формулы»; выделили общие методы и приемы решения задач. На следующем уроке при выполнении самостоятельной работы вы продемонстрируете свои знания и умения. Домашнее задание: решить упражнения, подготовленные второй группой. Перед вами лежат оценочные листы. Оцените свою работу, работу своей группы. Заполните и сдайте листы. Всем спасибо за работу. До свидания. | Заполняют и сдают оценочные листы. |
Лист самооценки работы группы.
Оцени работу своей группы:
А) да, все работали одинаково.
Б) нет, работал только один;
В) кто-то работал больше, кто-то меньше других.
2. Дружно ли вы работали?
А) работали дружно;
Б) спорили, но не ссорились;
В) очень трудно было договариваться, не всегда получалось.
3. Тебе нравиться результат работы группы?
А) да, все получилось хорошо;
Б) нравиться, но можно сделать лучше;
В) нет, не нравиться.
4. Оцени свой вклад в работу группы.
А) почти все сделано без меня;
Б) я сделал очень много, без меня работа бы не получилась;
В) я принимал участие в обсуждении.
Формулы сложения аргументов: | Формулы двойного угла: |
Формулы преобразования суммы в произведение: | Формулы преобразования произведения в сумму: |
Формулы понижения степени: |
;
