«Методы доказательств числовых неравенств и их использование при решении прикладных задач».
№2 Цель работы: Изучить методы доказательств числовых неравенств и выяснить, какие методы целесообразно применить при решении прикладных задач.
№3 Содержание работы:
I. Введение.
II. Историческая справка.
III. Основные методы доказательства неравенств.
IV. «Доказательство неравенств» в школьном курсе математики.
V. Заключение.
№4
Основные методы доказательства неравенств:
1.Неравенство Коши.
2. Доказательство неравенств путем определения знака разности их частей.
3. Доказательство неравенств с помощью использования ранее доказанных и очевидных неравенств.
4. Метод оценивания.
5. Доказательство неравенств методом от противного.
6.Доказательство неравенств методом математической индукции.
7. Метод использования тождеств.
8. Метод ведения новых переменных (метод подстановки).
9. Метод интерпретации или моделей.
10. Функционально – графические методы доказательства неравенств.
11.Метод уменьшения числа переменных в неравенстве и понижения степени неравенства.
I. Введение.
Доказательства неравенств рассматривается на базовом уровне в начале изучения темы «Неравенство». В дальнейшем неравенства можно доказывать на занятиях математических кружков, факультативов, т.е. во внеклассной работе по предмету.
Доказательство неравенств как задача сложнее, чем усвоение алгоритмов решения простых неравенств – доказательство обычно основано на эвристике, а не на алгоритмах. Поэтому в основной школе принято рассматривать лишь неравенство Коши. В профильном курсе ознакомление учащихся с самой задачей доказательства неравенств и с применяемыми методами рассуждений представляется в настоящее время совершено необходимым. Это позволяет учащимся при решении задач перейти с уровня формально – оперативных умений, на более высокий уровень, позволяющий строить логические цели рассуждения; делать выводы о выборе решения, анализировать и оценивать полученные результаты.
В программе по алгебре и началам анализа для профильного уровня, в разделе «Уравнения и неравенства» есть тема: «Доказательства неравенств: использование равносильных преобразований, метода математической индукции, исследования функций. Неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом нескольких чисел».
В курсе математики девятилетней школы линия неравенств тесно связана с другими основными линиями: развитием понятия числа и операциями над числами, тождественными преобразованиями выражений с переменной, с функциями и др., поэтому требуется разработка методики использования неравенств при раскрытии этих вопросов. Такой подход позволит осознанно изучить тему «Неравенства» и предоставить в распоряжение учащихся приёмы изучения ряда вопросов, так, как аппарат неравенств может быть применён:
- к решению прикладных задач;
- к исследованию свойств функций и др.
Доказательства неравенств на базовом уровне рассматривается в 8 классе в начале изучения темы «Неравенство». Обучающиеся доказывают неравенства самым простым способом, находя разность двух выражений. В дальнейшем неравенства доказываются, в лучшем случае на занятиях математических кружков, факультативов, т.е. во внеклассной работе по предмету.
На страницах учебников, по которым изучается базовый курс математики, из классических неравенств встречаются только соотношения между средне арифметическим и средне геометрическим двух неотрицательных действительных чисел (неравенство Коши).
Введение в программу профильного обучения этой темы очень важно. Задачи этой темы решаются алгебраическим способом, который является одним из лучших средств развития самостоятельного, творческого мышления. С помощью специально подобранных задач, которые способны заинтересовать учащихся своей кажущейся простотой и тем, что их решение не сразу дается в руки, можно показать учащимся красоту, простоту и изящество логического рассуждения. Задачи на доказательство неравенств часто решаются несколькими способами. Это дает возможность обратить внимание учащихся не только на наиболее рациональный, красивый способ решения данной задачи, но и на те способы, которые широко применяются при решении других задач и в некоторых случаях оказываются единственными.
Доказательства неравенств дает возможность реализовать в процессе изучения темы такие задачи: формирование у учащихся навыка осмысления и применение приемов доказательство неравенств; умение применять приемы доказательств при выполнении различных задач; умение анализировать, обобщать и делать выводы; логически излагать мысли; творчески относится к делу.
№5.
Текстовые задачи вызывают затруднения у школьников, многим из которых не удается правильно составить уравнение или неравенство по условию задачи. Учителю математики в такой ситуации почти невозможно организовать самостоятельную работу школьников, постоянно нуждающихся в указаниях и подсказках. Поэтому на уроках я предлагаю таким ученикам карточки с задачами, которые сопровождаются указаниями, следуя им даже слабый ученик сможет получить правильный ответ, а для сильных учеников предусмотрены дополнительные вопросы . (Задачи на уроке предлагаются по нарастающему уровню сложности).
№6.
Задача. Две трубы, действуя вместе в течение одного часа, наполняют водой 3/8 бассейна. Если сначала первая труба наполнит одну восьмую часть бассейна, а затем вторая при выключенной первой доведет объем до 3/8 бассейна, то на это потребуется 2,5 часа, если первую трубу включить на час, а вторую – на полчаса, то они наполнят бассейн более чем на четверть. За какое время наполняет бассейн каждая труба?
№7. Ход решения.
Составление математической модели.
х л/час – производительность первой трубы;
у л/час – производительность второй трубы;
V л – объем бассейна.
№ 8. Составление математической модели
№9.
t = V/x, T = V/y.
Тогда систему можно переписать так:
№10.
Работа с математической моделью.
1) Из второго уравнения имеем t = 20 – 2T.
2) Подставляем в первое уравнение, получаем уравнение относительно T
3T2 - 34 T + 80 = 0.
Корни данного уравнения: T = 8 или T = 10/3.
3) Тогда решениями данной системы первых двух уравнений являются:
№ 11.
Последнему неравенству системы удовлетворяет лишь первое решение.
Ответ :
Собственная скорость движения катера в стоячей воде должна быть в интервале
(4; 12] км/ч.
№ 12. Задача. На реке, скорость течения которой равна 4 км/ч, в направлении её течения расположены пристани А, В, С, причем расстояние от А до В вдвое меньше, чем расстояние от В до С. От пристани В в один и тот же момент по направлению к пристани С отправлены плот (плывущий относительно берегов со скоростью течения реки) и катер. Дойдя до пристани С, катер разворачивается и движется по направлению к пристани А. Найти все значения собственной скорости катера (т. е. скорости катера в стоячей воде), при которых катер приходит в пункт А не раньше, чем плот приходит в пункт С.
№13.
Составление математической модели
Пусть х км/ч – скорость катера в стоячей воде,
у км - расстояние от пристани А до пристани В.
ч – время движения катера из В в С,
время движения катера из В в С и обратно из С в А против течения.
По условию:
№14
№15
Применим метод интервалов, учитывая,
что x > 4.
Получим, что 4 < x ≤ 12.
Ответ на вопрос задачи.
Собственная скорость движения катера в стоячей воде должна быть в интервале (4; 12] км/ч.
№16
Вывод:
В школьном курсе математики при решении прикладных задач в основном используется метод Коши.
№17
Заключение.
В основной школе принято рассматривать лишь неравенство Коши между средними арифметическим и геометрическим и следствие о сумме взаимно обратных чисел. Но в профильном курсе ознакомление учащихся с самой задачей доказательства неравенств и с применяемыми методами рассуждений представляется в настоящее время совершено необходимым. Это позволяет учащимся при решении задач перейти с уровня формально – оперативных умений, на более высокий уровень, позволяющий строить логические цели рассуждения; делать выводы о выборе решения, анализировать и оценивать полученные результаты.
В ходе работы были решены все поставленные задачи и получены следующие результаты:
1. Обоснована необходимость и возможность специального изучения в курсе математики методов доказательств числовых неравенств и использование их при решении прикладных задач.
2. Рассмотрена методика обучения учащихся решению прикладных задач с помощью неравенств. Сформулированы требования к серии задач, направленных на овладением методов их решения.
3. Подтверждена доступность и эффективность методики обучения этому методу.
Дополнительная задача.
№ 18.
Задача.
Требуется огородить забором длины 2а земельный участок, имеющий форму прямоугольника. Какой наибольший по площади участок может быть огорожен забором длины 2а?
№19.
Методика работы с задачей.
I. Этап. Анализ условия. По условию известна длина забора 2а, которым надо огородить земельный участок, имеющий форму прямоугольника. Неизвестно, какой наибольший по площади участок может быть огорожен забором данной длины.
- Что необходимо найти? ( надо найти площадь S= ху участка прямоугольной формы и выяснить, при каких значениях х и у значение S – наибольшее).
№20.
II.Этап. Моделирование.
Пусть х и у – соответственно длина и ширина прямоугольника ABCD; S= ху – его площадь.
Согласно условию
2х+ 2у= 2а; х+у = а.
Теперь наша задача с вами выяснить, при каких значениях х, у произведение ху будет наибольшим, если х+ у= а, где а- данное число.
№21.
III. Этап. Решение задачи внутри полученной математической модели:
у= а – х; S= х(а – х).
Установить, при каких значениях х и а –х S принимает наибольшее значение.
На данном этапе выделим два уровня рассуждений:
- наглядный;
- доказательный ( строгий).
№22
Наглядный уровень
1). Допустим, что имеем не переменные х и у, а конкретное число 8 ( чётное); его можно представить в виде суммы двух чисел: 1+7; 2+6; 3+5; 4+4.
2). В каждом из случаев найдём произведение: 7, 12, 15, 16.
3) Вывод: произведение наибольшее, если числа равны.
Аналогично рассуждение проводят, если число нечётное.
№23
Доказательный ( строгий) уровень.
Дано: х+ у= а.
Доказать, что произведение ху будет наибольшим тогда и только тогда, когда 
Для доказательства достаточно показать, что любое произведение x n, y n, меньше xy при x= y)
Доказательство. 1. Возьмём любые значения переменной хn , у n, 
; тогда
2. Найдём произведение 
3. Найдём произведение 
4.Первый вывод: 
5. Второй вывод: так как х n, y n произвольные значения, то S = xy наибольшее тогда, когда x = y.
6. Окончательный вывод: произведение двух чисел будет наибольшим только тогда, когда
х = у.