МБОУ «Добросельская ООШ»
Исследовательская работа
Тема: «Умные треугольники»
Выполнена
9 класс, МБОУ «Добросельская ООШ»,
Грайворонский муниципальный округ
Долгополов Вадим Евгеньевич
Научный руководитель:
учитель математики
Косилова Ольга Николаевна
2025
Содержание
Введение………………………………………………………………………… ……………3
Глава 1. Прямоугольный треугольник ……………………………………………………….4
1.3Практическое применение теоремы Пифагора…………………………………...6
1.4 Значение теоремы Пифагора……………………………………………………….7
Глава 2. Треугольник Паскаля………………………………………………………………....7
2.1 Что такое треугольник Паскаля……………………………………………………7
2.2 Основная формула треугольника Паскаля ……………………………………….8
2.3 Свойства треугольника Паскаля …………………………………………………..9
2.4 Возведение двучлена в степень…………………………………………………...10
2.5 Практическое применение треугольника Паскаля……………………………….11
Заключение…………………………………………………………………………………… .12
Библиографический список…………………………………………………………………. 12
Введение
На уроках математики мы знакомимся с различными геометрическими фигурами, изучаем их свойства, признаки. Одной из таких фигур является треугольник. На первый взгляд это одна из простых фигур. На самом же деле треугольник удивителен и неисчерпаемо богат. Особенно меня поразили прямоугольный треугольник, который хочется назвать треугольником Пифагора, и треугольник Паскаля.
Цель исследования: изучить роль прямоугольного треугольника и треугольника Паскаля в развитии математики.
Задачи:
- изучить свойства прямоугольного треугольника;
- изучить свойства треугольника Паскаля;
-показать практическую значимость прямоугольного треугольника и треугольника Паскаля.
Актуальность.
Широкое использование свойств прямоугольного треугольника и треугольника Паскаля способствует введению новых математических исследований, связывают воедино различные аспекты математики. Теорема Пифагора применяется в строительстве, астрономии, мобильной связи, литературе и т.д. С помощью треугольника Паскаля решается ряд вероятностных задач.
Гипотеза: прямоугольный треугольник и треугольник Паскаля используются в различных сферах деятельности человека.
Объект исследования: практическое применение свойств прямоугольного треугольника и треугольника Паскаля.
Предмет исследования: `прямоугольный треугольник и треугольник Паскаля.
Глава 1. Прямоугольный треугольник
1.1 Свойства прямоугольного треугольника
Прямоугольным треугольником называется треугольник, у которого один угол прямой (равен 90 ). Так как сумма всех углов треугольника равна 180 , то сумма двух острых углов составляет 90 .
Рассмотрим еще свойства прямоугольного треугольника.
Если в прямоугольном треугольнике один из углов равен 45 , то такой треугольник является равнобедренным | |
Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла | |
В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине | |
Гипотенуза является наибольшей стороной. Катеты совпадают с высотами треугольника | |
Если из прямого угла опустить перпендикуляр на гипотенузу, то получим три подобных треугольника | |
Если опустить медиану из прямого угла на гипотенузу, то она будет равна радиусу описанной окружности прямоугольного треугольника |
, равен половине гипотенузы 
1.2 Теорема Пифагора
Теорема Пифагора – одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника: сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы = .
Однако эту теорему знали за много лет до Пифагора. Древние египтяне знали о том, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным, и пользовались этим свойством (т.е. теоремой обратной теореме Пифагора) для построения прямых углов при планировке земельных участков, сооружений и зданий. Да и поныне строители и плотники, закладывая фундамент дома, вычерчивают этот треугольник, чтобы получить прямой угол. Это же самое проделывалось тысячи лет назад при строительстве великолепных храмов в Египте, Вавилоне, Китае. В самом древнем дошедшем до нас китайском математико-астрономическом сочинении «Чжоу-би», написанном примерно за 600 лет до Пифагора, среди других приложений относящихся к прямоугольному треугольнику содержится теорема Пифагора. Еще раньше эта теорема была известна индусам .
Может показаться странным, но исторических фактов доказательства теоремы самим Пифагором нет — ни в архивах, ни в каких-либо других источниках. В современной версии считается, что оно принадлежит не кому иному, как самому Евклиду. Формулировка теоремы из евклидовых "Начал", в переводе звучит также как и в современной интерпретации. Нового в ее прочтении нет: квадрат стороны противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов сторон, прилегающих к прямому углу. Таким образом, Пифагор не открыл это свойство прямоугольного треугольника, он, вероятно, первым сумел его обобщить и доказать, перевести тем самым из области практики в область науки.
Теорема Пифагора находит применение не только в математике, но и в архитектуре и строительстве, астрономии и даже литературе.
1)Математика
Рассмотрим несколько задач, которые встречаются в современных учебниках и сборниках по подготовке к ОГЭ.
Теорема Пифагора применяется не только при решении задач, но также и при доказательстве множества теорем.
2)Строительство
Практическое значение теоремы Пифагора заключается в том, что с ее помощью можно найти длины отрезков, не измеряя их. При строительстве сооружений рассчитываются расстояния, размещение опор и балок, определяются центры тяжести. С помощью теоремы можно определить, какой высоты вышка мобильной связи нужна, чтобы сигнал достигал определенного населенного пункта.
При строительстве двускатной крыши для определения длины стропил также помогает теорема Пифагора. Пусть фронтон крыши представляет равнобедренный треугольник с основаниtм 6 м и высотой 4 м. Найдем длину стропила. = + =25. Отсюда . = 5м
3)Современные технологии
Не забыли о теореме и при создании кино в 3D-6D-измерениях, где кроме привычных нам 3-х величин: высоты, длины, ширины – учитываются время, запах и вкус. Как связаны с теоремой вкусы и запахи? Все очень просто - при показе фильма нужно рассчитать, куда и какие запахи и вкусы направлять в зрительном зале.
4)Литература
В двадцатом веке советский писатель Евгений Велтистов в книге «Приключения Электроника» доказательствам теоремы Пифагора отвел целую главу. И еще полглавы рассказу о двухмерном мире, какой мог бы существовать, если бы теорема Пифагора стала основополагающим законом и даже религией для отдельно взятого мира. Жить в нем было бы гораздо проще, но и гораздо скучнее: например, там никто не понимает значения слов «круглый» и «пушистый».
А еще в книге «Приключения Электроника» автор устами учителя математики говорит: «Главное в математике – движение мысли, новые идеи». Именно этот творческий полет мысли порождает теорема Пифагора – не зря у нее столько разнообразных доказательств. Она помогает выйти за границы привычного, и на знакомые вещи посмотреть по-новому.
2.3 Значение теоремы Пифагора
Благодаря тому, что теорема Пифагора позволяет находить длину отрезка (гипотенузы), не измеряя ее непосредственно, она как бы открывает путь с прямой на плоскость, с плоскости в трехмерное пространство и дальше – в многомерные пространства. Этим определяется ее исключительная важность для геометрии и математики в целом.
В некотором смысле в теореме Пифагора, как в зерне, заключена вся евклидова планиметрия. Вспомним формулу для расстояния между точками А(; ) и В(; в декартовых координатах:
АВ = . С одной стороны, это просто теорема Пифагора для треугольника с гипотенузой АВ и катетами, параллельными осям координат (их длины равны Но с другой стороны, если считать пары чисел (х;у) точками плоскости, тогда эта формула является определением расстояния. Из нее можно вывести все понятия, непосредственно определяемые через расстояния, - такие, как равенство и подобие фигур.
Теорема Пифагора лежит в основе многих более общих метрических соотношений на плоскости и в пространстве. В значительной мере на нее опирается и тригонометрия: ведь важнейшее тригонометрическое тождество + α = 1 – это та же теорема Пифагора, записанная в другом виде.
2.1 Что такое треугольник Паскаля
Треугольник Паскаля — это математическая таблица чисел, в которой значение каждой ячейки равно сумме значений двух ячеек, стоящих над ней.
Известный американский популяризатор науки Мартин Гарднер в своей книге «Математические новеллы» посвятил целую главу «одной из самых изящных и известных схем в истории математики», которую чаще всего принято называть треугольником Паскаля. Эта математическая конструкция, конечно, была известна и до того, как «французский Архимед» написал свой «Трактат об арифметическом треугольнике». Однако на момент издания труда Блеза Паскаля именно в нём содержалась наиболее полная информация об этом математическом явлении. Правда, итальянцы предпочитают называть этот фундаментальный артефакт треугольником Тартальи, описавшем таблицу за сто лет до Паскаля, а в Германии его называют треугольником Штифеля. В Иране и, пожалуй, в большинстве арабских стран его принято называть треугольником Хайяма, а китайцы отстаивают приоритет своего соотечественника и называют его треугольником Ян Хуэя.
Треугольник Паскаля представляет собой бесконечный треугольный массив биномиальных коэффициентов, в котором на вершине и по бокам находятся единицы, а каждое число из тела массива равно сумме двух расположенных над ним чисел.
Его первые десять строк выглядят так:
2.2 Основная формула треугольника Паскаля
Говоря формально, треугольник Паскаля — это расположение биномиальных коэффициентов для положительных целых чисел n и k. Поэтому число каждой ячейки можно найти с помощью рекуррентной формулы:
= +
В ней:
Если говорить простыми словами, то получится правило, которое мы обозначили выше: каждый элемент равен сумме чисел, стоящих над ним.
Формулу нахождения биномиальных коэффициентов можно записать в аналитическом виде:
Это уже не что иное, как формула сочетаний без повторяющихся элементов из комбинаторики. Она показывает, что элемент k-го столбца n-й строки треугольника Паскаля равен количеству способов выбрать k объектов из n без учёта повторений.
2.3 Свойства треугольника Паскаля
Если провести прямую вертикальную линию по центру треугольника, то части по левую и правую сторону будут симметричны. Например, в строке 1, 4, 6, 4, 1 числа расположены зеркально относительно прямой. | |
Сумма всех чисел в n-й строке равна 2n. Убедимся в этом и сложим все числа пятой строки: 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 25. | |
В треугольнике Паскаля можно найти и квадратные числа. Для этого надо выбрать ячейку и умножить друг на друга все числа, которые её окружают. Например, 1 × 5 × 15 × 21 × 7 × 1 = 11025 = 1052. | |
Если второе и предпоследнее число в строке треугольника — простые, то между ними находятся числа, кратные ему. Например, в седьмой строке числа 21 и 35 делятся на простое 7, которое расположено с двух сторон от них их. | |
Сумма чисел диагонали равна числу в следующей строке на противоположной диагонали. Проверим это и посчитаем сумму чисел диагонали, которая начинается в пятой строке: 1 + 6 + 21 + 56 = 84. |
2.4 Возведение двучлена в степень
В 7 классе мы познакомились с формулами квадрата суммы и квадрата разности, также научились возводить двучлен в третью степень. Можно также потрудившись возвести двучлен в пятую или шестую степень.
С помощью треугольника Паскаля двучлен можно возвести в любую степень. Например, на седьмой строке треугольника Паскаля мы увидим нужные нам коэффициенты многочлена при возведении двучлена в седьмую степень и т.д.
2.5 Практическое применение треугольника Паскаля
1) Треугольник Паскаля и теория вероятностей
В науке и практике часто приходится сталкиваться с комбинаторными задачами. При решении этих задач используются формулы:
1. Перестановки = n!
2. Размещения
3. Сочетания
Чтобы определить сколькими способами можно выбрать kэлементов из предложенных nэлементов можно воспользоваться формулой сочетаний, но гораздо легче решить задачу с помощью треугольника Паскаля. Например, чтобы найти , посмотрим какое число стоит на пересечении 6 строки и 4 столбца. Это число 15. Значит, = 15.
Приведу примеры аналогичных задач из учебника «Вероятность и статистика» для 9 класса
№170. Сколькими способами можно выбрать
а) 7 предметов из 9;
б) 2 предмета из 6?
№171 Сколькими способами можно отобрать стартовую шестерку игроков в волейбольном матче, если всего в команде 10 игроков?
№172 Предприниматель хочет отправить рекламные объявления в 3 газеты. Сколькими способами можно выбрать эти 3 газеты из:
а) 6 газет;
б) 7 газет?
2) Треугольник Паскаля в шахматах.
В книге Евгения Гика «Шахматы и математика» автор приводит удивительные примеры, когда знание вариантов маршрута короля позволило мастерам спасать совершенно проигрышные ситуации. (Приведен знаменитый этюд Рети, в котором король удивительным образом успевает повоевать в двух противоположных участках доски). Оказывается, количество вариантов маршрута короля для достижения каждого поля подчиняется закономерности треугольника Паскаля.
Вспомним легенду о том, как была придумана игра в шахматы. За свое изобретение создатель шахмат попросил индийского раджу за одну клетку дать одно зерно, за вторую – 4, за третью 8 и т.д. В итоге за 64 клетку надо было выдать зерен.
Количество зерен за каждую клетку равно сумме чисел в соответствующей строке треугольника Паскаля, а сумма всех зерен за nклеток равнялась бы сумме этих чисел на этих n строках этого треугольника.
Заключение
Прямоугольный треугольник и треугольник Паскаля отличаются друг от друга, но каждый из них богат свойствами. Знание этих свойств позволяет решать алгебраические, геометрические, вероятностные задачи. Изучение этих треугольников сыграло огромную роль в развитии математики. Треугольник Паскаля считается одной из наиболее изящных схем во всей математике, связывает воедино различные аспекты математики. Он применялся в архитектуре средних веков для построения схем пропорциональности и для построения прямых углов. В настоящее время треугольник Паскаля используется программистами. Строгий прямоугольный треугольник и поистине волшебный бесконечный треугольник Паскаля вызывают восхищение.
Библиографический список