Исследовательская работа
Способы умножения чисел
Выполнили учащиеся 8 класса
Аванесян София, Мельник Дарья
Руководитель Федотова Анна Викторовна, учитель математики, МАОУ СОШ №17
г. Краснодар,2024
Аннотация
Актуальность данной темы заключается в том, что использование нестандартных приемов в формировании вычислительных навыков усиливает интерес учащихся к математике и содействует развитию математических способностей.
Цель: изучить нестандартные приемы вычислений и экспериментальным путем выявить возможность их применения на уроках математики.
Практическая значимость данного исследования в том, что освоение вычислительных навыков развивает память, повышает уровень математической культуры мышления, помогает полноценно усваивать предметы физико-математического цикла.
Объектом исследования являются алгоритмы счета.
Предметом исследования выступает процесс вычисления.
Гипотеза: если освоить старинные приемы вычислений, то возможно на уроках математики мы откажемся от использования калькулятора и другой вычислительной техники.
В исследовательской работе мы пользовались следующими методами:
-поисковый метод с использованием научной и учебной литература, а также поиск необходимой информации в сети Интернет;
-практический метод при выполнении вычислений с применением нестандартных алгоритмов счета;
- анализ полученных в ходе исследования данных.
Мы пришли к выводу, что на уроках математики:
- можно считать без калькулятора, зная старинные способы умножения;
- самый простой способ это тот, который мы изучаем в школе, может быть он для нас наиболее привычный.
.
План исследований (введение)
«Счет и вычисления - основы порядка в голове»
Иоганн Генрих Песталоцци
Можно ли представить себе мир без чисел? Без чисел ни покупки не сделаешь, ни времени не узнаешь, ни номера телефона не наберёшь. А космические корабли, лазеры и все другие технические достижения?! Они были бы попросту невозможны, если бы не наука о числах.
На уроках нам часто приходиться вычислять без калькулятора, мы современные дети делаем это с большим трудом. И нас заинтересовало, как раньше в старину люди проводили расчет? Может, изучив старинные способы, нам станет легче понять современный способ умножения?
Цель: изучить нестандартные приемы вычислений и экспериментальным путем выявить возможность их применения на уроках математики.
Задачи:
- раскрыть историю возникновения счета и феномен « Чудо - счётчиков»;
- описать старинные способы умножения и опытно-экспериментальным путем выявить трудности в их использовании;
- рассмотреть некоторые приемы устного умножения и на конкретных примерах показать преимущества их использования.
Объектом исследования являются алгоритмы счета.
Предметом исследования выступает процесс вычисления.
Гипотеза: Если освоить старинные приемы вычислений, то возможно на уроках математики мы откажемся от использования калькулятора и другой вычислительной техники.
В исследовательской работе мы пользовались следующими методами:
- поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, а также поиск необходимой информации в сети Интернет;
- практический метод при выполнении вычислений с применением нестандартных алгоритмов счета;
- анализ полученных в ходе исследования данных.
Данная работа относится прикладному исследованию, так как знание упрощенных приемов вычислений дает возможность не только быстро производить простые расчеты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки в результате механизированных вычислений.
Практическая значимость данного исследования в том, что освоение вычислительных навыков развивает память, повышает уровень математической культуры мышления, помогает полноценно усваивать предметы физико-математического цикла.
Исследуя данную работу, мы обращались к различным источникам (интернет, энциклопедия, научная литература). По результатам изученной литературы, мы выяснили, что раньше было множество необычных способов умножения, и мы бы хотели показать несколько наиболее интересных способов.
Для того чтобы выяснить, знают ли лицеисты другие способы выполнения арифметических действий, кроме умножения столбиком и деления «уголком» и хотели бы узнать новые способы, был проведен устный опрос. Было опрошено 75 учащихся 5-7 классовнашего лицея. Этот опрос показал, что наши учащиеся не знают других способов выполнения действий, так как редко обращаются к материалу, находящемуся за пределами школьной программы, но онихотели бы узнать.
Результаты анкетирования:
Знаете ли вы другие способы выполнения арифметических действий?
Хотели бы узнать новые способы?
Основная часть исследовательской работы
Глава 1. История счёта
Подсчитывать предметы люди научились ещё в древнем каменном веке - палеолите, десятки тысяч лет назад. Как это происходило? Сначала люди лишь на глаз сравнивали разные количества одинаковых предметов. Они могли определить, в какой из двух куч больше плодов, в каком стаде больше оленей и т. д. Если одно племя меняло пойманных рыб на сделанные людьми другого племени каменные ножи, не нужно было считать, сколько принесли рыб и сколько ножей. Достаточно было положить рядом с каждой рыбой по ножу, чтобы обмен между племенами состоялся.
Чтобы с успехом заниматься сельским хозяйством, понадобились арифметические знания. Без подсчета дней трудно было определить, когда надо засевать поля, когда начинать полив, когда ждать потомства от животных. Надо было знать, сколько овец в стаде, сколько мешков зерна положено в амбары.
И вот более восьми тысяч лет назад древние пастухи стали делать из глины кружки - по одному на каждую овцу. 
Чтобы узнать, не пропала ли за день хоть одна овца, пастух откладывал в сторону по кружку каждый раз, когда очередное животное заходило в загон. И только убедившись, что овец вернулось столько же, сколько было кружков, он спокойно шел спать. Но в его стаде были не только овцы - он пас и коров, и коз, и ослов. Поэтому пришлось делать из глины и другие фигурки. А земледельцы с помощью глиняных фигурок вели учет собранного урожая, отмечая, сколько мешков зерна положено в амбар, сколько кувшинов масла выжато из оливок, сколько соткано кусков льняного полотна. Если овцы приносили приплод, пастух прибавлял к кружкам новые, а если часть овец шла на мясо, несколько кружков приходилось убирать. Так, еще не умея считать, занимались древние люди арифметикой.
Постепенно люди начали использовать для счёта камешки, палочки, части собственного тела. Вот как известный русский учёный Н. Н. Миклуха - Маклай описывал счёт папуасов: «Папуас загибает один за другим пальцы руки, причём издаёт определённый звук, например «бе, бе, бе.».Досчитав до пяти, он говорит: «Ибон-бе» (рука). Затем он загибает пальцы другой руки, снова повторяя «бе, бе..»,пока не дойдёт до «ибон-али» (две руки). Затемон идёт дальше, приговаривая «бе, бе…», пока не дойдёт до «самба-бе» (одна нога) и «самба-али» (две ноги). Если нужно считать дальше, папуас пользуется пальцами рук и ног кого-нибудь другого».
Похожие способы счёта применяли и другие народы. Так возникли нумерации, основанные на счёте пятёрками, десятками, двадцатками.
До сих пор мы рассказывали об устном счёте. А как записывали числа? Поначалу, ещё до возникновения письменности, использовали зарубки на палках, насечки на костях, узелки на верёвках. Найденная волчья кость в Дольни - Вестонице (Чехословакия), имела 55 насечек, сделанных более 25000 лет назад.
Когда появилась письменность, появились и цифры для записи чисел. Сначала цифры напоминали зарубки на палках: в Египте и Вавилоне, в Этрурии и Финики, в Индии и Китае небольшие числа записывали палочками или чёрточками. Например, число 5 записывали пятью палочками. Индейцы астеки и майя вместо палочек использовали точки. Затем появились специальные знаки для некоторых чисел, таких, как 5 и 10 .
В то время почти все нумерации были не позиционными, а похожими на римскую нумерацию. Лишь одна вавилонская шестидесятеричная нумерация была позиционной. Но и в ней долго не было нуля, а также запятой, отделяющей целую часть от дробной. Поэтому одна и та же цифра могла означать и 1, и 60, и 3600. Угадывать значение числа приходилось по смыслу задачи.
1.2 « Чудо - счётчики»
Он все понимает с полуслова и тут же формулирует вывод, к которому обычный человек, может быть, придет путем долгих и тягостных раздумий. Книги он поглощает с невероятной скоростью, а на первом месте в его шорт-листе бестселлеров — учебник по занимательной математике. В момент решения самых трудных и необычных задач в его глазах горит огонь вдохновения. Просьбы сходить в магазин или помыть посуду остаются без внимания либо выполняются с большим недовольством. Самая лучшая награда — это поход в лекторий, а самый ценный подарок — книга. Он максимально практичен и в своих поступках в основном подчиняется рассудку и логике. Он холодно относится к окружающим его людям и предпочтет катанию на роликах шахматную партию с компьютером. Будучи ребенком, он не по годам осознает собственные недостатки, отличается повышенной эмоциональной устойчивостью и приспособляемостью к внешним обстоятельствам.
Этот портрет написан отнюдь не с аналитика ЦРУ. Так, по мнению психологов, выглядит человек-калькулятор, индивидуум, обладающий уникальными математическими способностями, позволяющими ему в мгновение ока производить в уме самые сложные подсчеты.
За порогом сознания чудо - счетоводы, способные без калькулятора совершать невообразимо сложные арифметические действия, обладают уникальными особенностями памяти, отличающей их от других людей. Как правило, кроме огромных линеек формул и вычислений, эти люди (ученые их называют мнемониками — от греческого слова mnemonika, означающего "искусство запоминания") держат в голове списки адресов не только друзей, но и случайных знакомых, а также многочисленных организаций, где им когда-то приходилось бывать.
В лаборатории НИИ психотехнологий, где решили исследовать феномен, провели такой эксперимент. Пригласили уникума — сотрудника Центрального государственного архива Санкт-Петербурга Александра Н. Ему предлагали для запоминания различные слова и цифры. Он должен был их повторять.За каких-то пару минут,он мог зафиксировать в памяти до семидесяти элементов. Десятки слов и цифр буквально "загрузили" в память Александра. Когда количество элементов перевалило за две сотни, решили проверить его возможности. К удивлению участников эксперимента, мегапамять не дала ни одного сбоя. С секунду пошевелив губами, он с поразительной точностью, словно читая, начал воспроизводить весь ряд элементов.
Еще, например, один учёный – исследователь провёл эксперимент с мадмуазель Осака. Испытуемую попросили возвести в квадрат 97, получить десятую степень того числа. Она это сделала моментально.
В Ванском районе западной Грузии живет Арон Чикашвили. Он быстро и точно производит в уме сложнейшие вычисления. Как-то друзья решили проверить возможности «чудо-счётчика». Задание было сложным: сколько слов и букв скажет диктор, комментирующий второй тайм футбольного матча «Спартак» (Москва) - «Динамо» (Тбилиси). Одновременно был включен магнитофон. Ответ последовал, как только диктор сказал последнее слово: 17427 букв, 1835 слов. На проверку ушло ….5 часов. Ответ оказался правильным.
Рассказывают, что отец Гаусса обычно платил своим рабочим в конце недели, прибавляя к каждому дневному заработку за сверхурочные часы. Однажды после того, как Гаусс-отец закончил расчеты, следивший за операциями отца ребёнок, которому было три года, воскликнул: « Папа, подсчёт не верен! Вот такая должна быть сумма». Вычисления повторили и с удивлением убедились, что малыш указал правильную сумму.
Интересно, что многие «чудо-счётчики» не имеют понятия вообще, как они считают. Считаем, и всё! А как считаем, Бог его знает. Некоторые «счётчики» были совсем необразованными людьми. Англичанин Бакстон, «счётчик-виртуоз», так никогда и не научился читать; американский «негр-счётчик» Томас Фаллер умер неграмотным в возрасте 80-ти лет.
Проводились соревнования в институте кибернетики Украинской академии наук. В соревновании участвовали молодой «счётчик-феномен» Игорь Шелушков и ЭВМ «Мир». Машина за несколько секунд сделала множество сложных математических операций. Победителем в этом соревновании вышел Игорь Шелушков.
В Сиднейском университете в Индии тоже проходили соревнования человека и машины. ШакунталаДеви тоже несколько опередила ЭВМ.Большинство таких людей обладает прекрасной памятью и имеют дарование. Но некоторые из них никакими способностями к математике не обладают. Они знают секрет! А секрет этот в том, что они хорошо усвоили приемы быстрого счёта, запомнили несколько специальных формул.
Итак, многие «счётчики-феномены» пользуются особыми приемами быстрого счёта и специальными формулами. Значит, мы тоже можем пользоваться некоторыми из этих приёмов.
Глава II . Старинные способы умножения.
2.1. Русский крестьянский способ умножения.
В России 2-3 века назад среди крестьян некоторых губерний был распространен способ, который не требовал знание всей таблицы умножения. Надо было лишь уметь умножать и делить на 2. Этот способ получил название крестьянский.
Пример: умножим 28 на 37
- запишем числа на одной строчке, проведём между ними вертикальную черту;
- левое число будем делить на 2, правое – умножать на 2 (если при делении возникает остаток, то остаток отбрасываем);
- деление заканчивается, когда слева появится единица;
- вычёркиваем те строчки, в которых стоят слева чётные числа;
- далее оставшиеся справа числа складываем – это результат;
Ответ:148+296+592=1036
Вывод:Этот способ быстрый и удобный, требует только знаний деления и умножения на 2, но в то же время громоздкий. При вычислениях могут возникнутьошибки в арифметических действиях.
2.2. Метод «решетки».
1). Выдающийся арабский математик и астроном Абу Абдалах Мухаммед Бен Мусса аль - Хорезми жил и работал в Багдаде. «Аль - Хорезми» буквально означает «из Хорезми»,
т. е. родился в г. Хорезме (сейчас входит в состав Узбекистана). Учёный работал в Доме мудрости, где были библиотека и обсерватория, здесь работали почти все крупные арабские учёные.
Сведений о жизни и деятельности Мухаммеда аль - Хорезми очень мало. Сохранились лишь две его работы – по алгебре и по арифметике. В последний из этих книг даны четыре правила арифметических действий, почти такие же, что используются в наше время.
2). В своей «Книге об индийском счете» учёный описал способ, придуманный в Древней Индии, а позже названный «методом решётки» (он же «ревность»). Этот метод даже проще, чем применяемый сегодня.
Рассмотрим пример: перемножим 987 и 12:
- рисуем прямоугольник 3 на 2 (по количеству десятичных знаков у каждого множителя);
- затем квадратные клетки делим по диагонали;
- вверху таблицы записываем число 987;
- слева таблицы число 12 (см. фото);
- теперь в каждый квадратик впишем произведение цифр – сомножителей, расположенных в одной строчке и в одном столбце с этим квадратиком, десятки выше диагонали, единицы ниже;
- после заполнения всех треугольников, цифры в них складывают вдоль каждой диагонали;
- результат записываем справа и внизу таблицы (см. фото);
987 ∙ 12=11844
Вывод:Неудобство этого способа мы отметили в трудоемкости подготовки прямоугольной таблицы, хотя сам процесс вычисления интересен и заполнение таблицы напоминает игру.
2.3 Индийский способ умножения
Некоторые опытные учителя в прошлом веке считали, что этот способ должен заменить в нашей школе общепринятый способ умножения.
Американцам он настолько понравился, что они его даже так и назвали «Американский способ». Однако им пользовались жители Индии еще в VI в. н. э., и правильнее его назвать «индийским способом». Перемножить два каких - либо двузначных числа, скажем 23 на 12. Я сразу пишу, что получится.
х23
12
276
Вы видите: очень быстро получен ответ. Но как он получен?
Первый шаг: х23 говорю: «2 х 3 = 6»
12
…6
Второй шаг: х23 говорю: « 2 х 2 + 1 х 3 = 7»
12
.76
Третий шаг: х23 говорю: «1 х 2 = 2».
12 пишу 2 левее цифры 7
получаем 276.
Вывод:Этот способ интересный, но громоздкий. При вычислении могут возникнуть ошибки в арифметических действиях.
2.4. Египетский способ умножения
В старину выполнять арифметические действия было сложно, особенно это касалось действия умножения. Выход из этой ситуации нашли египтяне, поэтому способ получил название египетский. Они заменялиодно из чисел - удвоением, то есть сложением числа с самим собой.
Например: 34 ∙ 5=34∙ (1 + 4) = 34∙ (1 + 2 ∙ 2) = 34 ∙ 1+ 34 ∙ 4.
Т. к. 5 = 4 + 1, то для получения ответа оставалось сложить числа, стоящие в правом столбике против цифр 4 и 1 , т. е. 136 + 34 = 170.
Вывод:Этот способ громоздкий.
2.5. Умножение на пальцах
Древние египтяне были очень религиозны и считали, что душу умершего в загробном мире подвергают экзамену по счёту на пальцах. Уже это говорит о том значении, которое придавали древние этому способу выполнения умножения натуральных чисел (он получил название пальцевого счета).
Умножали на пальцах однозначные числа от 6 до 9. Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, сколько первый множитель превосходил число 5, а на второй руке то же самое для второго множителя. Остальные пальцы загибали. После этого брали столько десятков, сколько вытянуто пальцев на обеих руках, и прибавляли к этому числу произведение загнутых пальцев на первой и второй руке.
Пример: 8 ∙ 9 = 72
Позже пальцевой счёт усовершенствовали – научились показывать с помощь пальцев числа до 10000
Вывод:Этот способ очень интересный, развивает память, не требует знания таблицы умножения на 6 и 9.
Глава 3. Устный счет – гимнастика ума
3.1. Умножение и деление на 4.
Чтобы умножить число на 4, его дважды удваивают.
Например,
214 * 4 = (214 * 2) * 2 = 428 * 2 = 856
537 * 4 = (537 * 2) * 2 = 1074 * 2 = 2148
Чтобы число разделить на 4 , его дважды делят на 2.
Например,
124 : 4 = (124 : 2) : 2 = 62 : 2 = 31
2648 : 4 = (2648 : 2) : 2 = 1324 : 2 = 662
3.2. Умножение и деление на 5.
Чтобы умножить число на 5, нужно его умножить на 10/2 , то есть умножить на 10 и разделить на 2.
Например,
138 * 5 = (138 * 10) : 2 = 1380 : 2 = 690
548 * 5 (548 * 10) : 2 = 5480 : 2 = 2740
Чтобы число разделить на 5, нужно умножить его на 0,2, то есть в удвоенном исходном числе отделить запятой последнюю цифру.
Например,
345 : 5 = 345 * 0,2 = 69,0
51 : 5 = 51 * 0,2 = 10,2
3.3. Умножение на 25.
Чтобы умножить число на 25, нужно его умножить на 100/4, то есть умножить на 100 и разделить на 4.
Например,
348 * 25 = (348 * 100) : 4 = (34800 : 2) : 2 = 17400 : 2 = 8700
3.4. Умножение на 9.
Чтобы умножить число на 9, к нему приписывают 0 и отнимают исходное число. Например,
241 * 9 = 2410 – 241 = 2169
847 * 9 = 8470 – 847 = 7623
3.5. Умножение на 11.
Чтобы число умножить на 11, к нему приписывают 0 и прибавляют исходное число. Например:
47 * 11 = 470 + 47 = 517
243 * 11 = 2430 + 243 = 2673
3.6. Игры
Отгадывание полученного числа.
1. Задумайте какое-нибудь число. Прибавьте к нему 11; умножьте полученную сумму на 2; от этого произведения отнимите 20; умножьте полученную разность на 5 и от нового произведения отнимите число, в 10 раз больше задуманного вами числа.
Я отгадываю: вы получили 10. Верно?
2. Задумайте число. Утрой его. Вычти из полученного 1. Полученное умножьте на 5. К полученному прибавьте 20. Разделите полученное на 15. Из полученного вычтите задуманное.
У вас получилось 1.
3. Задумайте число. Умножьте его на 6. Вычтите 3. Умножьте на 2. Прибавьте 26. Вычтите удвоенное задуманное. Разделите на 10. Вычтите задуманное.
У вас получилось 2.
4. Задумайте число. Утройте его. Вычтите 2. Умножьте на 5. Прибавьте 5. Разделите на 5. Прибавьте 1. Разделите на задуманное. У вас получилось 3.
5. Задумайте число, удвойте его. Прибавьте 3. Умножьте на 4. Вычтите 12. Разделите на задуманное.
У вас получилось 8.
Угадывание задуманных чисел.
Предложите своим товарищам задумать любые числа. Пусть каждый прибавит к своему задуманному числу 5.
Полученную сумму пусть умножит на 3.
От произведения пусть отнимет 7.
Из полученного результата пусть вычтет ещё 8.
Листок с окончательным результатом пусть каждый отдаст вам. Глядя на листок, вы тут же говорите каждому, какое число он задумал.
(Чтобы угадать задуманное число, результат, написанный на бумажке или сказанный вам устно, нужно разделить на 3)
Заключение
Мы вступили в новое тысячелетие! Грандиозные открытия и достижения человечества. Мы много знаем, многое умеем. Кажется чем-то сверхъестественным, что с помощью чисел и формул можно рассчитать полёт космического корабля, «экономическую - ситуацию» в стране, погоду на «завтра», описать звучание нот в мелодии. Нам известно
высказывание древнегреческого математика, философа, жившего в 4 веке д. н.э.- Пифагора - «Всё есть число!».
Согласно философскому воззрению этого учёного и его последователей, числа управляют не только мерой и весом, но также всеми явлениями, происходящими в природе, и являются сущностью гармонии, царствующей в мире, душой космоса.
Описывая старинные способы вычислений и современные приёмы быстрого счёта, мы попытались показать, что как в прошлом, так и в будущем, без математики, науки созданной разумом человека, не обойтись.
Изучение старинных способов умножения показало, что арифметическое действие было трудным и сложным из-за многообразия способов и их громоздкости выполнения.
Мы пришли к выводу, что на уроках математики:
- можно считать без калькулятора, зная старинные способы умножения;
- самый простой способ это тот, который мы изучаем в школе, может быть он для нас наиболее привычный.
Мы думаем, что наша работа не прошла зря, все полученные знания мы сможем использовать в будущем при сдаче ГИА и ЕГЭ. Из всех найденных нами необычных способов более интересными показались « метод решетки», « умножение на пальцах». Мы показали своим одноклассникам, им тоже они понравились.
.
Список использованной литературы
1. Ванцян А. Г. Математика: Учебник для 5 класса. - Самара: Издательский дом
«Фёдоров», 1999.
2. Кордемский Б. А., Ахадов А. А. Удивительный мир чисел: Книга учащихся,- М. Просвещение, 1986г.
3. Минских Е. М. От игры к знаниям, М., Просвещение, 1982г.
4. Свечников А. А. Числа, фигуры, задачи М., Просвещение, 1977г.
5. Перельман Я.И. Быстрый счет. Тридцать простых приемов устного счета.Л.,1941-12 с.
6. Перельман Я.И. Занимательная арифметика: Загадки и диковинки в мире чисел.- М.: Издательство 1994.-С.142-144.
7.Энциклопедия «Я познаю мир. Математика» :- М.: Астрель Ермак,2004.
8. Энциклопедия для детей «Математика» - М.: Аванта +,2003.-688с.
