Конспект учебного занятия на тему «Текстовые задачи и их решение»

Министерство образования Республики Мордовия

ГБПОУ РМ «Зубово-Полянский педагогический колледж»

Конспект учебного занятия

на тему: «Текстовые задачи и их решение»

Разработала: Коняшкина Л. И.,

преподаватель математики    

Зубова Поляна 2023

План занятия

Тема урока: Текстовые задачи и их решение

Цель урока: создание условий для усвоения студентами представлений о структуре текстовой задачи, методах и этапах решения.

Задачи урока:

Дидактическая: 

- сформировать у студентов умения решать текстовые задачи разными методами и способами.

Развивающая:

- расширить понятия о типах арифметических задач,  которые определены  программными задачами для младших школьников.

- развивать логическое мышление при решении текстовых задач.

Воспитывающие:

- организовывать собственную деятельность.

- осознавать значимость изучения данной темы для будущей профессии.

Тип урока:  ОНЗ

Вид урока: лекция

Методы проведения: ознакомительный, репродуктивный (объяснительно-иллюстративный)

Словесный: объяснение, беседа.

Практический: составление и решение арифметических задач.

Наглядный: презентация.

Ресурсы обучения: мультимедийный комплекс, презентация, опорный конспект

Междисциплинарный курс:  Теоретические основы начального курса математики с методикой преподавания

Межпредметные связи: Математика

Список используемой литературы:

Конспект занятия

1 этап. Организационный момент.

2 этап.  Значимость данной темы для будущей профессии.

Преподаватель.  Кроме различных понятий, предложений и доказательств в любом математическом курсе есть задачи. В обучении математике младших школьников преобладают такие, которые называют арифметическими, текстовыми, сюжетными. Эти задачи сформулированы на естественном языке (поэтому их называют текстовыми); в них обычно описывается количественная сторона каких-то явлений, событий (поэтому их часто называют арифметическими или сюжетными); они представляют собой задачи на разыскание искомого и сводятся к вычислению неизвестного значения некоторой величины (поэтому их иногда называют вычислительными).

В данном курсе мы будем применять термин «текстовые задачи», поскольку он чаще других используется в методике обучения математике младших школьников. Роль текстовых задач в математике велика. Решая задачи, учащиеся приобретают новые математические знания, готовятся к практической деятельности.

Решение текстовых задач при начальном обучении математике является средством формирования многих математических понятий, умений строить математические модели реальных явлений, а также средством развития мышления детей. Задачи способствуют развитию их логического мышления. Большое значение имеет решение задач и в воспитании личности учащегося. Поэтому важно, чтобы учитель имел глубокие представления о текстовой задаче, о её структуре, умел решать такие задачи различными способами, а также учителю надо знать не только различные методические подходы к обучению детей решению текстовых задач, но и как устроены такие задачи и уметь решать их различными методами и способами.

Знания этой темы вам помогут сперва при прохождении практики "Пробные уроки", а впоследствии поможет вам научить ваших учеников решать задачи. 

3 этап. Изучение нового материала.

3.1. Понятие текстовой задачи и её структура.

Преподаватель.

Текстовая задача – это описание некоторой ситуации на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента или определить вид этого отношения.

Структура задачи – любая текстовая задача состоит из двух частей: условия и требования. В условии сообщаются сведения об объектах и их величинах, об отношениях между ними. Задаются количественные характеристики величин (их численные значения). Требование – это указание, что нужно найти. Оно может быть выражено предложением в повелительной или вопросительной форме.

Структура текстовой задачи состоит из утверждения и требования. Утверждения задачи называют условиями (или условием). В задаче обычно не одно условие, а несколько элементарных условий. Они представляют собой количественные и качественные характеристики объектов задачи и отношений между ними. Требований в задаче может быть несколько. Они могут быть как в вопросительной, так и утвердительной форме.

Условия и требования взаимосвязаны. Систему взаимосвязанных условий и требований называют высказывательной моделью задачи. Чтобы понять, какова структура задачи, надо выявить ее условия и требования, отбросив все лишнее, второстепенное, не влияющее на ее структуру. Иными словами, надо построить высказывательную модель задачи.

Рассмотрим задачу: Две девочки одновременно побежали навстречу друг другу по спортивной дорожке, длина которой 420 м. Когда они встретились, первая пробежала на 60 м больше, чем вторая. С какой скоростью бежала каждая девочка, если они встретились через 30 с?

Условия задачи: 1) Две девочки бегут навстречу друг другу. 2) Движение они начали одновременно. 3) Расстояние, которое они пробежали – 420 м. 4) Одна девочка пробежала на 60 м больше, чем другая. 5) Девочки встретились через 30с. 6) Скорость движения одной девочки больше скорости другой.

Требования задачи: 1) С какой скоростью бежала первая девочка? 2) С какой скоростью бежала вторая девочка?

 3. 2. Ознакомление с основными методами и способами решения текстовых задач.

Основными методами решения текстовых задач являются арифметический и алгебраический.

Решить задачу арифметическим методом – это значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами. Одну и ту же задачу можно решить различными арифметическими методами.

Решим различными арифметическими способами задачу: Из ткани сшили 3 платья, расходуя на каждое по 4 м ткани. Сколько кофт можно сшить из этой ткани, если расходовать на одну кофту 2 м?

Решение:

1 способ

4• 3=12 (м) – столько было ткани

12: 2=6 (к.) – сшили из 12 м ткани

Ответ: 6 кофт.

2 способ

4:2=2 (раза) – больше ткани идет на платье, чем на кофту

3•2=6 (к.) – можно сшить из этой ткани

Ответ: 6 кофт.

Решить задачу алгебраическим методом – это значит найти ответ на требование задачи, составив и решив уравнение или систему уравнений. Если для одной и той же задачи можно составить различные уравнения (системы уравнений), то это означает, что данную задачу можно решить различными алгебраическими способами.

Решим различными алгебраическими способами задачу: Свитер, шапку и шарф связали из 1 кг 200г шерсти. На шарф потребовалось на 100 г шерсти больше, чем шапку, и на 400 г меньше, чем на свитер. Сколько шерсти израсходовали на каждую вещь?

Решение:

1 способ

Обозначим через х г массу шерсти, израсходованную на шапку. Тогда на шарф будет израсходовано (х+100) г, а на свитер ((х+100)+400) г. Так как на все три вещи израсходовано 1200 г, то можно составить уравнение: х+(х+100)+((х+100)+400)=1200. Решив данное уравнение, получим х=200, т.е. если на шапку ушло 200 г шерсти, то на шарф – 200+100=300(г), а на свитер (200+100)+400=700(г).

Ответ:200 г, 300 г, 700 г.

2 способ

Обозначим через х (г) массу шерсти, израсходованную на шарф. Тогда на шапку будет израсходовано (х-100) г, а на свитер (х+400) г. Так как на все три вещи израсходовано 1200г, то можно составить уравнение: х+(х-100)+(х+400)=1200. Решив данное уравнение, получим х=300, т.е. если на шарф ушло 300г шерсти, то на шапку – 300-100=200 (г), а на свитер 300+400=700 (г).

Ответ:200 г, 300 г, 700 г.

3 способ

Обозначим через х (г) массу шерсти, израсходованную на свитер. Тогда на шарф будет израсходовано (х-400)г, а на шапку ((х-400)-100)г. Так как на три вещи израсходовано 1200 г, то можно составить уравнение: х+(х-400)+((х-400)-100)=1200. Решив данное уравнение, получим х=700(г), т.е. если на свитер ушло 700 г шерсти, то на шарф – (700-400=300)г, а на шапку ((700-400)-100=200)г.

Ответ:200 г, 300 г, 700 г.

3. 3. Этапы решения текстовой задачи и приемы их выполнения

Деятельность по решению задачи арифметическим методом включает следующие основные этапы: анализ задачи; поиск и составление плана решения задачи; осуществление плана решения задачи; проверка решения задачи.

Рассмотрим подробнее приемы выполнения этапов решения задачи.

Анализ задачи.

Первый прием - Специальные вопросы.

• О чем задача, т.е. о каком процессе (явлении, ситуации) идет речь в задаче, какими величинами характеризуется этот процесс?

• Что в задаче известно о названных величинах?

• Что неизвестно о названных величинах?

• Что требуется найти в задаче?

Проведем анализ следующей задачи: По дороге в одном и том же направлении идут два мальчика. Вначале расстояние между ними было 2 км, но так как скорость идущего впереди мальчика 4 км/ч, а скорость второго 5 км/ч, то второй догоняет первого. С начала движения и до того, как второй мальчик догонит первого, между ними бегает собака со скоростью 8 км/ч. От идущего позади мальчика она бежит к идущему впереди, добежав, возвращается обратно и так бегает до тех пор, пока мальчики не окажутся рядом. Какое расстояние пробежит за все это время собака?

Анализ:

• О чем задача? Задача о движении двух мальчиков и собаки. Она характеризуется для каждого участника движения скоростью, временем и пройденным расстоянием.

• Что известно о названных величинах? В задаче известно, что:

а) мальчики идут в одном направлении;

б) до начала движения расстояние между мальчиками было 2км;

в) скорость первого мальчика (идущего впереди) 4 км/ч;

г) скорость второго мальчика (идущего позади) 5км/ч;

д) скорость, с которой бежит собака, 8км/ч;

е) время движения собаки – это время, за которое второй мальчик догонит первого.

• Что неизвестно о названных величинах? В задаче неизвестно:

за какое время второй мальчик догонит первого;

с какой скоростью происходит сближение мальчиков; расстояние, которое пробежала собака.

• Что требуется найти в задаче? В задаче требуется найти, какое расстояние пробежит собака за время, за которое второй мальчик догонит первого.

Второй прием – Перефразировка текста задачи.

Данный прием заключается в замене описания некоторой ситуации в задаче другим, сохраняющим все отношения, связи, качественные характеристики, но более явно их выражающим. Это достигается в результате отбрасывания несущественной, излишней информации, замены описания некоторых понятий соответствующими терминами и, наоборот; преобразование текста задачи в форму, удобную для поиска плана решения. Особенно эффективно использование данного приема в сочетании с разбиением текста на смысловые части. Результатом перефразировки должно быть выделение основных ситуаций.

Проведем перефразировку теста рассмотренной выше задачи: 1) Скорость одного мальчика 4 км/ч, а скорость догоняющего его второго мальчика 5 км/ч. 2) Расстояние, на которое мальчики сблизились 2 км. 3) Время движения мальчиков и собаки – это время, за которое второй мальчик догонит первого. 4) Скорость собаки 8 км/ч. Требуется определить расстояние, которое пробежала собака».

Третий прием – Построение вспомогательной модели задачи.

Вспомогательная модель задачи служит формой фиксации анализа текстовой задачи и является основным средством поиска плана ее решения. В качестве вспомогательной модели задачи выступают: рисунок или схематический рисунок; чертеж или схематический чертеж; таблица. Чаще всего используют схематический чертеж или таблицу.

После построения вспомогательной модели необходимо проверить:

• Все ли объекты задачи и их величины показаны на модели.

• Все ли отношения между ними отражены.

• Все ли числовые данные приведены.

• Есть ли вопрос (требование) и правильно ли он указывает искомое?

Пример. Построим вспомогательную модель рассмотренной выше задачи. В данной задаче вспомогательной моделью целесообразно выбрать таблицу.

Поиск и составление плана решения задачи.

Первый прием – Разбор задачи по тексту.

Разбор задачи проводится в виде цепочки рассуждений, которая может начинаться как от данных задачи, так и от ее вопросов.

При разборе задачи от данных к вопросу в тексте задачи выделяется два данных и на основе знания связи между ними (полученные при анализе задачи) определяется, какое неизвестное может быть найдено по этим данным, и с помощью какого арифметического действия. Затем, считая это неизвестное данным, вновь выделяется два взаимосвязанных данных и определяется неизвестное, которое может быть найдено по ним и с помощью какого действия и т.д. Данный процесс продолжается до тех пор, пока не будет выяснено, какое действие приводит к получению искомого в задаче объекта.

Решим задачу, используя данный прием: На поезде, скорость которого 56км/ч, турист проехал 6ч. После этого ему осталось проехать в 4 раза больше, чем проехал. Каков весь путь туриста?

Разбор текста задачи от данных к вопросу:

Известно, что 6 ч турист проехал на поезде, который шел со скоростью 56км/ч. По этим данным можно узнать расстояние, которое проехал турист за 6 ч – для этого нужно скорость умножить на время (566=336). Зная пройденную часть расстояния и то, что оставшееся расстояние в 4 раза больше, можно найти, чему оно равно (3664=1344). Зная, сколько километров турист проехал и сколько ему осталось ехать. Можем найти весь путь, выполнив сложение найденных расстояний (336+1344=1680). Итак, первым действием будем находить расстояние, которое турист проехал на поезде, вторым действием – расстояние, которое ему осталось проехать и третьим – весь путь туриста.

При разборе задачи от вопроса к данным нужно обратить внимание на вопрос задачи и установить (на основе информации, полученной при анализе задачи), что достаточно узнать для ответа на этот вопрос. Для этого нужно обратиться к условиям и выяснить, есть ли для этого необходимые данные. Если таких данных нет или есть только одно данное, то установить, что нужно знать, что бы найти недостающее данное (недостающие данные), и т.д. Потом составляется план решения.

Решим задачу, описанную в предыдущем примере, используя данный прием.

Разбор текста задачи от вопроса к данным:

В задаче требуется узнать весь путь туриста, который состоит из двух частей. Значит, чтобы найти ответ на вопрос задачи достаточно знать, сколько километров турист проехал, и сколько километров ему осталось проехать. И то и другое неизвестно. Чтобы найти пройденный путь, достаточно знать время и скорость, с которой ехал турист – это в задаче известно. Умножив скорость на время, узнаем путь, который турист проехал (566=336). Оставшийся путь можно найти, увеличив пройденный путь в 4 раза (3364=1344). Итак, вначале можно узнать пройденный путь, затем оставшийся, после чего сложением найти весь путь туриста.

Второй прием – Поиск плана решения задачи по вспомогательной модели.

Покажем, как можно осуществить поиск плана решения задачи о движении мальчиков и собаки (см. выше) по вспомогательной модели (таблице).

Из таблицы видно, что для того, чтобы найти расстояние, которое пробежала собака достаточно знать ее скорость и время движения. Скорость известна, а время движения собаки такое же, как у мальчиков. Чтобы найти это время, нужно знать какое расстояние было между мальчиками и скорость их сближения. Расстояние известно, а скорость сближения мальчиков можно найти, так как скорость каждого известна. Скорость сближения мальчиков найдем разностью, так как они двигаются в одном направлении (5-4=1). Затем узнаем, сколько времени понадобилось, чтобы второй мальчик догнал первого, для этого расстояние между мальчиками разделим на скорость их сближения (21=2). И наконец, мы можем узнать расстояние, которое пробежала собака за это время, для этого ее скорость умножим на время движения собаки (82=16). Итак, вначале найдем скорость движения мальчиков, затем время движения всех участников (оно одинаковое), а потом расстояние, которое пробежала собака.

Осуществление плана решения задачи.

Первый прием – Запись плана решения задачи по действиям (с пояснениями, без пояснений, с вопросами).

Пример. Приведем различные приемы записи решения задачи про движение туриста.

С пояснениями:

56• 6=336(км) – турист проехал за 6ч

3 36•4=1344(км) – осталось проехать туристу

336+1344=1680(км) – весть путь туриста

Без пояснений:

56•6=336 (км)

336•4=1344 (км)

336+1344=1680(км)

С вопросами:

• Сколько километров проехал турист на поезде? 56•6=336 (км)

• Сколько километров осталось проехать туристу? 336•4=1344 (км)

• Каков весь путь туриста? 336+1344=1680 (км)

Второй прием – Запись решения задачи в виде выражения.

Запись решения в этой форме осуществляется поэтапно. Сначала записываются отдельные шаги в соответствии с планом, затем составляется выражение и находится его значение. Так как обычно это значение записывают, поставив после числового выражения знак равенства, то запись становится числовым равенством, в левой части которого – выражение, составленное по условию задачи, а в правой – его значение, которое позволяет сделать вывод о выполнении требований задачи.

Рассмотрим предыдущую задачу.

56•6 (км) – турист проехал за 6ч

336•4 (км) – осталось проехать туристу

56•6+336•4 =1680(км) – весть путь туриста

Пояснения к действиям можно не записывать, а давать их в устной форме, тогда запись решения задачи примет вид: 56•6+336•4 =1680(км).

Проверка решения задачи.

Прием первый – Установление соответствия между результатом и условиями задачи.

Для этого найденный результат вводится в текст задачи и на основе рассуждений устанавливается, не возникает ли противоречия.

Проверим, используя данный прием, правильность решения задачи о движении туриста.

Мы установили, что турист должен был проехать 180 км. Пусть этот результат будет одним из данных задачи. Как известно, за 6 ч турист проедет 336км (56•6=336) и ему останется проехать 1680-336=1344(км). Согласно условию задачи это расстояние должно быть в 4 раза больше того, что он проехал на поезде. Разделив 1344 на 336, получим 4. Следовательно, противоречий с условиями задачи не возникает. Значит, задача решена верно.

Второй прием – Решение задачи другим способом.

Пусть при решении каким-то способом получен некоторый результат. Если решение задачи другим способом приводит к тому же результату, то можно сделать вывод о том, что задача решена верно. Например, если задача решена арифметическим методом, то правильность ее решения можно проверить, решив задачу алгебраическим методом.

Не следует думать, что без проверки нет решения текстовой задачи. Правильность ее решения обеспечивается, прежде всего, четкими и логичными рассуждениями на всех других этапах решения задачи

  3. 4. Ознакомление с типами арифметических задач, которые изучают младшие школьники.

Решить задачу арифметическим способом — это значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над данными в задаче числами.

В учебнике встречаются типы задач:

Разберём особенности каждого типа задач.

Выполняя решение задачи, нужно провести анализ текста задачи и последовательно ответить на вопросы:

 1.Какие величины надо знать, чтобы ответить на вопрос задачи?
2. Какая из величин известна, а какая нет?

3. Что нужно знать, чтобы найти эту величину?

4. Как это узнать, исходя из условия задачи?

Задача 1 (на движение). Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу с одинаковой скоростью.

Через какое время они встретятся, если расстояние между ними — 72 км, а скорость — 12 км/ч?»

Решение:

1. какова скорость сближения велосипедистов?
12 + 12 = 24 (км/ч)

2. Через какое время велосипедисты встретятся?
72 : 24 = 3 (ч)

Ответ: через 3 часа.

Задача 2 (на применение действий сложения и вычитания натуральных чисел). В одном куске — 150 м проволоки, а в другом — на 35 м меньше. Сколько метров проволоки в двух кусках вместе?

Решение:

1. Сколько метров проволоки во втором куске?

150 − 35 = 115 (м) 

2. Сколько метров проволоки в двух кусках вместе?

150 + 115 = 265 (м)

 Ответ: 265 м.

Задача 3 (приводящие к делению, умножению натуральных чисел). Двадцать ящиков весят 3 т. Сколько килограммов весит один ящик?

Решение:

1. 3 т = 3000 кг 

2. Сколько килограммов весит один ящик?

3000 : 20 = 150 (кг)

 Ответ: 150 кг.

Задача 4 (на отработку отношений «на какое-то число больше», «на какое-то число меньше», «в какое-то число раз больше», «в какое-то число раз меньше», «всего»). В первый день бригада собрала 700 кг картофеля, а во второй день — в 2 раза больше, чем в первый. На сколько килограммов картофеля больше бригада собрала во второй день?

Решение:

1. Сколько килограммов картофеля собрала бригада во второй день?

700⋅2=1400 (кг)

2. На сколько килограммов картофеля больше собрала бригада во второй день?

1400 − 700 = 700 (кг)

Ответ: на 700 кг.

Задача 5 (на части). На первой полке стояло в 3 раза больше книг, чем на второй. На двух полках вместе стояло 120 книг. Сколько книг стояло на каждой полке?

Решение:

 1 + 3 = 4 части.

2. Сколько книг приходится на одну часть?

120 : 4 = 30 (к.) — число книг на второй полке.

3.  Сколько книг стояло на первой полке?

30⋅3=90 (к.)

Ответ: 90 книг, 30 книг.

Моделирование в процессе решения текстовых задач

Все модели можно разделить (по видам средств построения) на:

?

?

- чертёж;

?

4

3

?

1 класс – 18 уч. ? уч.

2 класс – ? на 6 уч. >

5  этап Домашнее задание Стойлова, Л.П. Математика §5, с. 104

Стойлова, Л.П. Теоретические основы начального курса математики §8, с.156

6  этап Итог урока. (вопросы)

Преподаватель благодарит студентов