Пояснительная записка
Данная разработка используется при изучении темы: «Дифференциальные уравнения первого порядка» для студентов второго курса.
Кроме краткого конспекта, рассмотрены примеры решения дифференциальных уравнений для четырех типов, даны задания решить уравнения, найти общее и частное решения уравнений.
Материал может быть использован при закреплении темы и при выполнении домашнего задания.
После обьяснения материала, для закрепления темы, рекомендую ответить на следующие вопросы:
1. Как решают уравнения с разделенными переменными?
2. Назовите номера уравнений с разделенными переменными (для 2 и 3 заданий).
3.Что нужно сделать, чтобы решить уравнение с разделяющимися переменными?
4.Назовите номера уравнений с разделяющими переменными (для 2 и 3 заданий).
5. Какую подстановку используют для решения однородных уравнений?
6. Назовите номера однородных уравнений (для 2 и 3 заданий).
7. Какую подстановку используют для решения линейных уравнений?
8. Назовите номера линейных уравнений (для 2 и 3 заданий).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную x, искомую функцию у и её производные или дифференциалы.
F(x,y,y') = 0 или F = 0,F(x,y,y") = 0.
Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одного независимого переменного.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной (или дифференциала), входящей в данное уравнение.
Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция у = ᵠ(х,С), которая обращает это уравнение в тождество.
Частным решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция у = ᵠ (х,С0), которая получается из общего при фиксированном значении С0.
График частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Общему решению дифференциального уравнения соответствует семейство интегральных кривых.
Дифференциальные уравнения первого порядка бывают:
Примеры:
1.Проверить, являются ли решениями данных дифференциальных уравнений указанные функции:
Решение:
∙− )' − 2 x∙(−) = 3
∙+ ) − + 2 = 3
3=3 , следовательно, функция у = является решением данного уравнения.
Решение:
(2cos x)' ∙ dx + 2cos x ∙dx = 0
-2sin x ∙ dx + 2sin x ∙ dx = 0
0 = 0, т. е., функция у = 2cosx является решением данного уравнения.
2. Найти частное решение уравнения xdx + ydy = 0, удовлетворяющее начальным
условиям у = 1 при х = 1.
Решение: уравнение с разделёнными переменными, поэтому проинтегрируем обе части уравнения:
+ =
+=
x2 +y2 =С - общее решение.
Для нахождения значения С подставим начальные условия в общее решение: 12+12=С, С = 2, следовательно, х2 +у2 = 2 - частное решение.
у' =
Решение:
у' = , тогда уравнение примет вид: или xdy = ydx - уравнение с разделяющимися переменными, разделим обе части уравнения на произведение х∙у, получим с разделёнными переменными, интегрируем обе части уравнения:
=
ln|y| = ln|x| + ln|C1 |, потенцируя
|y| = |C1| ∙ |x|
у = ±C1 x , полагая что ± С1 = С, окончательно получим у = С ∙ х.
4. Решить уравнение:(х2 - 2у2 )dx + 2xydy = 0.
Решение:уравнение - однородное, используем подстановку:
у = t ∙ х и dy = xdt + tdx
(х2 - 2t2 x2 )dx + 2х ∙ tx ∙ (xdt + tdx) = 0.
x2dx-2x2t2dx + 2x3tdt + 2x2t2dx=0
x2dx + 2x3tdt =0
+
+ 2tdt = 0
+ 2 =
+ = C
, -общее решение.
5.Решите уравнение:
у'−=(x+1
уравнение - линейное, используем подстановку:
у = и ∙ v и у' =u+v
u+v−=(x+1
u+v∙=(x+1
приравняем выражение, стоящее в скобке, к нулю, получим два уравнения:
− = 0 u= (x+1 | = (x+1 (x+1=(x+1 = (x+1) dv = (x+1)dx . v = + C |
y = (x+1∙,
y = + C ∙(x+1 – общее решение.
Задания:
1. Проверить, являются ли указанные функции решениями уравнений:
функция | уравнение |
1. у = Сх | 1. у' ∙ х - у - 0 |
2. у = sinx | 2. у' - у = 0 |
3. у = Сх3 | 3. 3у – х ∙ у' = 0 |
2. Найти общие решения уравнений:
1. x2dx = 3y2dy | 6. dy = (Зх2 - 2х)dx | 11. x2 + y2 = xyy' |
2. xdx= | 7. = | 12. (x – y )ydx - x2 dy = 0 |
3. dx=dy | 8. y2dx + (x-2)dy = 0 | 13.2xydy + (x2 - 2y2 )dx = 0 |
4. dy = dx | 9. dy - xdx = 0 | 14. х3dу-у(х2 +y2)dx = 0 |
5. у' -y = | 10. у' + y = cos x | 15. x∙y' + 2y =x2 |
3. Найти частные решения уравнений:
1. x2dx + ydy = 0, если у = 1 при х =0 | 11. х∙у2у'=х3 + у3 , у = 3, х = 1 |
2. 2(ху + y)dx = xdy , если у = 1 при х =1 | 12. (х - y)dx + xdy = 0, у = 0, х = 1 |
3.(1 + x2)dy−2x(y + 3)dx = 0, у = −1, х = 1 | 13. y2dx + (х2 – ху)dy = 0, у = 1, х = 1 |
4. (l + x)ydx = (у - 1)xdy = 0, у =1; х = 1 | 14. ху + у2 - (2х2 + ху)у' = 0, у = 1, х = 1 |
5. + dx = , если y=1 при x=0 | 15. у'− = x, если у =1 при х = 0 |
6. (2х-1)dy = (у + 1)dx = 0, у = 0, х = 5 | 16. у'(х2 + ху) = у2, если у = 2 при х = 2 |
7. (1-х2)dy + xydx = 0, у = 4, х = 0 | 17. y' + ytgx = , если y = l при х = 0 |
8. dy + ytgxdx = 0, если у = 1 при х = 0 | 18. у'- 2у - 3 = 0, если у = 1 при х= 0 |
9. у' tgx = 1 + у , у = −0,5, х = | 19. у'+= если y = 1 при х = 2 |
10. у' =х, у = 0, х = 1 | 20. у' −= ехх3, если у = е, х = 1 |
