Дисциплина: Математика
Преподаватель: Фомченко Ольга Леонидовна
Дата проведения: 27.04.2022 г.
Группа: 1-14
Тема урока: Применение производной к исследованию функции.
Тип урока: практическая работа
Вид урока: комбинированный
Цели урока:
I. Обучающие:
- усвоение студентами основных понятий изученных ранее тем;
- применение правила нахождения производных при исследовании функций;
- осуществление студентами самостоятельного применения знаний.
II. Развивающие:
- развитие познавательного интереса к дисциплине;
- развитие внимания, логического мышления.
III. Воспитывающая:
- формирование навыков по применению знаний, полученных на уроке в
жизни;
- воспитание положительного отношения к знаниям.
Задачи урока:
Межпредметные связи: физика, механика, химия (изучение скорости изменения процессов) и т.д.
Методы обучения: продуктивные (эвристическая беседа), объяснительно – иллюстративный, логический (анализ, абстрагирование).
Формы организации познавательной деятельности на уроке: фронтальная, групповая, индивидуально – обособленная.
Приёмы повышения внимания и интереса студентов к изучаемой теме:
наводящие вопросы, помогающие выбору правильных путей решения задачи, одновременно указывающие на различные подходы к ней;
задания на индивидуальное речевое проговаривание правил, определений;
предъявление студентам переформулированных вопросов, заданий, облегчающих понимание их смысла;
намёк – подсказка, содержащий готовую информацию;
задания на определение степени достоверности;
мультимедийное сопровождение.
Самостоятельная работа студентов на уроке: запись основных понятий; ответы на поставленные вопросы; выполнение практической работы.
Оснащение урока: учебники Колмогорова А.Н. "Алгебра и начала анализа", 10-11 класс, раздаточный материал, мультимедийное сопровождение.
Макроструктура урока:
1. Организационный момент (2 мин)
2. Мотивация (2 мин)
3. Актуализация опорных знаний и умений (10 мин)
4. Изучение нового материала (54 мин)
5. Восприятие и осмысление нового материала (8 мин)
6. Первичное закрепление, самостоятельная работа (10 мин)
7. Домашнее задание (2 мин)
8. Рефлексия (2 мин)
Ход урока:
Проводится математический диктант на знание определения производной функции в точке, геометрического и физического смысла производной, правил вычисления производных (после выполнения математического диктанта, студенты тут же проверяют правильность ответов и оценивают себя):
1. Дать определение производной функции в точке (Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю).
2. В чем состоит геометрический смысл производной (Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке).
3. Раскрыть физический смысл производной (Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения).
4. Решить два примера, нахождение производной:
5 правильных ответов – «5»,
4 правильных ответа – «4»
3 правильных ответа – «3»
2 правильных ответа – «2»
4. Изучение нового материала
Понятие производной – одно из важнейших в математике. С помощью производной учитывая её механический смысл и геометрический смысл, можно решать самые разнообразные задачи, относящиеся к любой области человеческой деятельности. В частности, с помощью производных стало возможным подробное исследование функций, что позволило очень точно строить их графики, находить их наибольшие и наименьшие значения и т. д.
Одной из основных задач, возникающих при исследовании функции, является нахождение промежутков возрастания и убывания. Такой анализ легко сделать с помощью производной.
Но прежде чем приступить к исследованию функций вспомним, какие функции называются возрастающими (убывающими).
Функция f(x) называется возрастающей на некотором интервале, если в точках этого интервала большему значению аргумента соответствует большее значение функции, и убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
И так, давайте сейчас сформулируем следующие утверждения:
Достаточный признак возрастания функции: Если f '(х) > 0 в каждой точке интервала I, то функция f возрастает на I.
Достаточный признак убывания функции: Если f '(х) < 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.
Сформулируем теперь правило нахождения интервалов возрастания и убывания функции f(x).
Рассмотрим теперь нахождение промежутков возрастания/убывания на конкретном примере функции.
Пример №1. Найти промежутки возрастания/убывания функции
y=2x³-3x²-36x+5.
x²-x-6=0
Д=1-4*(-6)*1=1+24=25
x1=-2, x2=3
Пример №2. Найти промежутки возрастания/убывания функции y=x³-3x².
x²-2x=0
x(x-2)=0
x1=0 и x2=2
Но помимо нахождения промежутков возрастания и убывания функции с помощью производной можно ещё определить точки экстремума (точки максимума/минимума).
Сначала вспомним необходимые определения и понятия.
Опр. 1. Точку x0 называют точкой минимума функции f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x) ≥ f(x0).
Опр. 2. Точку x0 называют точкой максимума функции f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x) ≤ f(x0).
Сформулируем соответствующее утверждение, его называют теоремой Ферма:
Необходимое условие экстремума. Если точка х0 является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная f ', то она равна нулю: f '( х0 ) = 0.
Из теоремы Ферма следует, что при нахождении точек экстремумов функции требуется в первую очередь найти ее критические точки. При этом часто помогают такие достаточные условия существования экстремума в точке.
Признак максимума функции. Если функция f непрерывна в точке х0, а
f '(х) > 0 на интервале (а;х0) и f '(х) < 0 на интервале (х0; b), то точка х0 является точкой максимума функции f.
Признак минимума функции. Если функция f непрерывна в точке х0, а
f '(х) < 0 на интервале (а;х0) и f '(х) > 0 на интервале (х0; b), то точка х0 является точкой минимума функции f.
Удобно пользоваться упрощенной формулировкой:
Если производная меняет знак с «+» на «-», то точка будет являться точкой максимума, если с «-» на «+», то точка будет точкой минимума.
Рассмотрим теперь на примерах исследование функции на возрастание/убывание и экстремумы.
Пример №3. Найти экстремумы функции y=-2x³-3x²+12x-4.
x²+x-2=0
D=1-4*1*(-2)=1+8=9
x1=-2 и x2=1
5. Восприятие и осмысление нового материала
Рис.1
1. На рисунке 1 изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−6; 9].
2. Найти промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции
y = - 3
ответы:
1) 1
2) возрастает на ( U, убывает на
- 1 – точка максимума, 1 – точка минимума.
- насколько баллов из пяти оцениваешь свою работу сегодня?
- что оказалось наиболее трудным для понимания?
- какие моменты необходимо усилить, доработать в дальнейшем?
