План-конспект урока "Показательные уравнения"

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА

Учитель: Мельник Т.П.

Тема урока:Показательные уравнения

Тип урока:Урок «открытия» нового знания

Образовательные цели:

Развивающие цели:развивать у учащихся внимание, умение анализировать, сравнивать, способность видеть переход от теоретического материала к его практическому применению.

Воспитательные цели: воспитывать интерес к предмету; показать использование знаний математики в жизни и практике.

Задачи урока:

(гдеа > 0,а1) на равносильное уравнениеf(x) = g(x).

Методы обучения:деятельностный, проблемный, поисковый, наглядный.

Форма организации учебной деятельности:фронтальная, групповая, индивидуальная.

Планируемые достижения:

Регулятивные:ученик научится планировать свое действие в соответствии с поставленной задачей и условиями ее реализации, сличать свое решение с эталоном, осуществлять самоанализ успешности участия в учебном диалоге, вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учета характера сделанных ошибок, осознавать качество и уровень усвоения.

Познавательные:

общеучебные– ученик научится самостоятельно выделять познавательную цель, искать и выделять информацию, моделировать задачи, составлять алгоритм решения показательного уравнения;  

логические– анализировать объект с целью выделения существенных признаков, самостоятельно создавать способы решения проблемы, использовать алгоритм порядка учебных действий в решении задач, строить логическую цепь рассуждений, выдвигать гипотезы и их обосновывать.

Коммуникативные действия:ученик научится участвовать в обсуждении проблемных вопросов, формировать собственное мнение и аргументировать его, задавать уточняющие вопросы, использовать в речи математические термины, оформлять свою речь соответственно целям и условиям делового общения, формулировать простые выводы, сотрудничать в работе с одноклассниками.

Личностные:учащийся осознает практическую и личностную значимость результатов каждого этапа урока, проявляет интерес к изучаемому материалу, оценивает содержание усваиваемого, применяет приобретенные навыки в практической деятельности, умеет соотносить собственный ответ с предложенным вариантом, оценивает свои знания.

Ожидаемый результат:

после завершения работы учащиеся смогут:

Оборудование:компьютер, слайдовая презентация, таблицы «Степени натуральных чисел», «Свойства корней», «Свойства степеней», «Свойства показательной функции», справочный материал, карточки для индивидуальной работы.

Структура урока:

Организационный момент (2 минуты)

Актуализация знаний и фиксация затруднений в деятельности (7 минут)

Постановка учебной задачи (5 минут)

«Открытие нового знания» (построение проекта выхода из затруднения) (12 минут)

Первичное закрепление (5 минут)

Самостоятельная работа с проверкой по эталону. Самоанализ и самоконтроль (10 минут) Рефлексия деятельности.

Подведение итогов урока (4 минуты).

Ход урока.

Оргмомент:

Приготовить рабочие принадлежности к уроку, справочный материал.

Актуализация полученных знаний.

Устная разминка:

Повторить определение степени с рациональным показателем, закрепить навык вычисления степени с рациональным показателем.

Слайд 1.

23, 2-3, 20, 41, 41/2, 4-1, (1/3)2, 93/2, (1/3)-2, (7,1)0, 51/3, 4-1/2

Повторяя ранее изученный материал, подготовить учащихся к восприятию новой темы, выяснить уровень подготовленности учащихся (работа ведется методом фронтального опроса с использованием справочного материала и комментирования ответов). По количеству верных и неверных ответов выясняется: вычисление степени с каким рациональным показателем вызывает затруднение.

- с дробным am/n. Необходимо провести решение нескольких подобных примеров письменно на доске и в тетрадях 273/2, 16-1/2, 81/3. В ходе устной разминки каждый ответ, вопрос или исправление ответа комментируется учителем или учениками и оценивается каким-то количеством баллов. В результате баллы суммируются и получается оценка.

– На прошлом уроке мы с вами изучали показательную функцию, ее свойства и график.

А встречаются ли показательные функции как математические модели реальных ситуаций? Безусловно, и очень часто. С показательными функциями связаны многие экономические, биологические, физические законы, относящиеся, например, к изменению температуры тела, к изменению величины вклада в банковской структуре и т.д. При решении алгебраических задач, довольно часто приходится отыскивать показатель степени, в которую нужно возвести число, чтобы получить результат. Не всегда это возможно сделать устно, поэтому необходимо знать методы решенияпоказательных уравнений, т.е. уравнений,неизвестные которых представляют собой показатели степеней.

С простейшими показательными уравнениями вы познакомились при изучении предыдущей темы. Зная, что показательная функция y = ax – монотонна и E (f) = (0; +), получаем, что простейшее показательное уравнение ax = b имеет единственный корень при b > 0. Поэтому простейшие уравнения надо сводить к виду ax = b. Вспомним, как решаются простейшие уравнения такого вида графическим способом.

Слайд 2.

Пример. Решить уравнения:

а) 2х = 1; б) 2х = 4

Решение.

а) 1) Построим в одной системе координат графики функций у = 2х и у = 1;

2) Графики имеют общую точку (0;1), значит, уравнение 2х = 1 имеет единственный корень х = 0.

б) 1) Построим в одной системе координат графики функций у = 2х и у = 4;

2) Графики имеют общую точку (2;4), значит, уравнение 2х = 4 имеет единственный корень х = 2.

– Обращаю ваше внимание, что в основе графического способа лежит использование свойства монотонности. Не забываем проверить полученные графическим способом корни подстановкой в исходное уравнение.

Графический способ можно применить не всегда, поэтому рассмотрим более универсальные основные аналитические способы решения показательных уравнений.

С некоторыми из них мы и познакомимся на сегодняшнем уроке.

Изучение нового материала.

Изложение нового материала ведется письменно на доске и параллельно в ученических тетрадях, используется форма диалога учитель – ученик.

Сформулировать с учащимся тему урока. Показать необходимость изучения этой темы, ее значение в курсе математики. Составить с учащимися план урока.

Предлагаю учащимся на основании уже имеющихся знаний по теме, сформулировать определение показательного уравнения.

Слайд 3.

Определение. Показательными уравнениями называют уравнения вида af(x) = ag(x),

где а – положительное число, отличное от 1, и уравнения, сводящиеся к этому виду.

Слайд 4.

Примеры показательных уравнений:

5х+2 = 25

3х·2х = 6х+3

4х + 2х+1 - 24 = 0

– Обратите внимание! В основаниях степеней (внизу) -только числа. Впоказателяхстепеней (вверху) - самые разнообразные выражения, содержащие переменную икс. Если, вдруг, в уравнении переменная икс будет находиться где-нибудь, кроме показателя, например,5х = 6 – 2х2 + х3, то это будет уже уравнение смешанного типа. Такие уравнения не имеют чётких правил решения. Мы их пока рассматривать не будем. Мы будем разбираться с решением показательных уравнений в чистом виде.  

Для начала решим что-нибудь совсем элементарное. Например:

3х = 9

Даже безо всяких теорий, по простому подбору ясно, что х = 2. Больше никак, верно!? Никакое другое значение икса не подходит. А теперь посмотрим на запись решения этого показательного уравнения:

3х = 32

х = 2

Что мы сделали? Мы просто «откинули» одинаковые основания (тройки). И, что радует, попали в точку!

Действительно, если в показательном уравнении слева и справа стоятодинаковыечисла, в каких угодно степенях, эти числа можно убрать и приравнять показатели степеней. Математика позволяет. Остаётся объяснить, почему можно так поступать.

Слайд 5. «Графики показательной функции»

Как известно, показательная функция y = ax – возрастает при а > 1 и убывает при 0 < а < 1 и

E(f)= (0; +). Следовательно,каждое свое значение показательная функция принимает в единственной точке, поэтому равенствоam = an выполняются тогда и только тогда, когдаm = n. Следовательно, при решении показательных уравнений можно воспользоваться утверждением

a f(x) = a g(x) f(x) = g(x),гдеа > 0, а1. При этом уравнения видаa f(x) = a g(x)будем называть простейшими показательными уравнениями, а другие показательные уравнения тем или иным способом сводить к простейшим уравнениям.

Однако, запомним: «убирать» основания можно только тогда, когда слева и справа числа - основания находятся в «гордом одиночестве»! Безо всяких «соседей» и коэффициентов.

В уравнениях 2х+ 2х+1= 23или 2·2х= 24двойки убирать нельзя!

Ну вот, самое главное мы и освоили. Как переходить от таких показательных выражений к более простым уравнениям?

Теперь вы знаете, куда надо стремиться при решении «непростых» примеров. Надо приводить их к виду, когда слева и справа стоит одно и то же число - основание. Дальше всё будет легче. Это и есть классика математики. Берём исходный пример и преобразовываем его к нужномунамвиду. По правилам математики, разумеется.

Рассмотрим примеры, которые требуют некоторых дополнительных усилий для приведения их к простейшим. Назовём их простыми показательными уравнениями.

При решении показательных уравнений, главные правила -действия со степенями.Без знаний этих действий ничего не получится.

К действиям со степенями надо добавить личные наблюдательность и смекалку. Нам требуются одинаковые числа – основания. Вот и ищем их в примере в явном или зашифрованном виде.

Посмотрим, как это делается на практике.

Пусть нам дан пример:

24х – 8х+2 = 0

Первый внимательный взгляд - наоснования.Они разные! Два и восемь. Самое время вспомнить, что

8 = 23.Вполне можно записать:

8х+2 = (23)х+2

Вспомним формулу из действий со степенями (справочный материал с таблицами имеется у каждого ученика):

(аn)m = anm,

то вообще отлично получается:

8х+2 = (23)х+2 = 23(х+2)

Исходный пример стал выглядеть вот так:

24х – 23(х+2) = 0

Переносим23(х+2) вправо, получаем:

24х = 23(х+2)

Вот, практически, и всё. Убираем основания:

4х = 3(х+2)

Решаем это уравнение и получаем

х = 6

Это правильный ответ.

В этом примере нас выручило знание степеней двойки. Мы «опознали» в восьмёрке зашифрованную двойку. Этот приём (шифровка общих оснований под разными числами) - очень популярный приём в показательных уравнениях! Надо уметь узнавать в числах степени других чисел. Это крайне важно для решения показательных уравнений.

Дело в том, что возвести любое число в любую степень - не проблема. Например, возвести 3 в пятую степень сможет каждый. Но в показательных уравнениях гораздо чаще надо не возводить в степень, а наоборот... Узнавать, какое число в какой степени скрывается за числом 243, или, скажем, 343... Здесь вам никакой калькулятор не поможет.

Степени некоторых чисел надо знать в лицо. Потренируемся?

Слайд 6.

Определить, какими степенями, и каких чисел являются числа:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

При решении показательных уравнений очень часто помогаетвынесение общего множителя за скобки. Рассмотрим пример:

32х+1 + 5·9х = 72

И вновь, первый взгляд - на основания! Основания у степеней разные... Тройка и девятка. А нам хочется, чтобы были - одинаковые. Что ж, в этом случае желание вполне исполнимое, потому, что:

9х = (32)х = 32х

По тем же правилам действий со степенями:

32х+1 = 32х·31

Можно записать:

32х·31 + 5·32х = 72

Мы привели пример к одинаковым основаниям. И что дальше!? Тройки-то нельзя выкидывать... Тупик?

Вовсе нет. Запоминаем самое универсальное и мощное правило решениявсехматематических заданий:

Не знаешь, что нужно - делай, что можно!

Что в этом показательном уравненииможносделать? В левой части просится вынесение за скобки! Общий множитель 32хявно намекает на это. Попробуем, а дальше видно будет:

32х(31 + 5) = 72

Что ещёможносделать? Посчитать выражение в скобках:

31 + 5 = 8

Пример становится всё лучше!

8·32х = 72

Вспоминаем, что для «ликвидации» оснований нам необходима «чистая» степень, безо всяких коэффициентов. Нам мешает число 8. Вот и делим обе части уравнения на 8, получаем:

32х = 9

32х = 32

2х = 2

х = 1Это окончательный ответ.

Практические советы (формулируем вместе с учащимися):

1. Первым делом смотрим наоснованиястепеней. Соображаем, нельзя ли их сделатьодинаковыми.Пробуем это сделать, активно используя действия со степенями. Не забываем, что «числа без иксов» тоже можно превращать в степени!

2. Пробуем привести показательное уравнение к виду, когда слева и справа стоятодинаковыечисла в каких угодно степенях. Используем действия со степенями и разложение на множители.

3. Для успешного решения показательных уравнений надо степени некоторых чисел знать "в лицо".

– Как обычно, вам предлагается немного порешать. Самостоятельно. От простого - к сложному.

Решить показательные уравнения (Решить самостоятельно с последующим разбором у доски):

Последующая запись решения на доске нужна для сомневающихся учащихся, чтобы проверить себя. Нужно еще раз оговорить переход от одного этапа решения к другому.

Если с последним заданием справились почти все ученики, значит, уровень внимания учащихся на уроке высокий, но в ходе решения учитель помогает, если видит затруднение у кого-либо из учащихся.

– Последний вопрос на соображение. На этом уроке мы работали с показательными уравнениями. Почему я здесь ни слова не сказала про ОДЗ? В уравнениях это очень важная штука, между прочим...

У показательной функции область определения - любые числа, значит, ограничений на х нет.

Подвести итоги и выделить основные методы решения показательных уравнений.

Функционально – графический метод. Он основан на использовании графических иллюстраций и свойства монотонности. Слайд 7.

Слайд 7

Функционально - графический метод

Левую и правую части уравнения представить в виде функций.

Построить графики обеих функций в одной системе координат.

Найти точки пересечения графиков, если они есть.

Указать абсциссы точек пересечения, это корни уравнения.

Записать ответ.

Метод уравнивания показателей. Он основан на теореме о том, что уравнениеa f(x) = a g(x) равносильно уравнениюf(x) = g(x),гдеа– положительное число, отличное от 1. Мы применяли этот метод в примерах 1 и 2. Слайд 8.

Слайд 8.

Метод уравнивания показателей

Уединить слагаемое, содержащее переменную.

Привести степени к одному основанию.

Приравнять показатели степеней.

Решить полученное уравнение.

Записать ответ.

Метод вынесения общего множителя за скобку. Мы применили этот метод в примере 3.

Слайд 9

Вынесение общего множителя за скобки

За скобки выносят член с наименьшим показателем степени.

Чтобы найти многочлен, заключенный в скобки, надо каждый член многочлена, стоящего в левой части уравнения, разделить на вынесенный множитель. Деление осуществлять по правилу:

аm : an = am-n.

Закрепление изученного материала:

Разноуровневые задания по карточкам.

Учащиеся выполняют работу на отдельных листочках и сдают их на проверку.

Допускается по необходимости совместное выполнение одного задания двумя учащимися и направляющая консультация учителя некоторым ученикам.

Цель самостоятельной работы не только в контроле за степенью усвоения учащимися нового учебного материала, но и в развитии самостоятельности мышления и повышения уровня внимания и интереса учащихся к излагаемому учителем новому материалу.

Проверочная работа.

1 уровень

Вариант 1

Решите уравнение.

1) 6x = 216;2) 23x – 5 = 16; 3) 5x – 1 + 5x = 150.

Вариант 2

Решите уравнение.

1) 8x = 512;2) 32x + 7 = 243;3) 6x – 2 – 6x – 1 = –180.

Вариант 3

Решите уравнение.

1) (0,7)x = 0,343; 2) 43 – x = 64;3) 22x – 3 + 22x + 1 = 136

Вариант 4

Решите уравнение.

1) (0,4)x = 0,0256;2) 54 – 3x = 125; 3) 7∙5х - 2 – 5х = –90

Вариант 5

Решите уравнение.

1) 10x = 0,1-3;2) 0,23x – 5 = 25;3) 7x + 2 – 14∙7x = 5

2 уровень

Вариант 6

Решите уравнение.

1) 53х-1 = 0,2;2) 62x – 8 = 216х;3) 10∙5x – 1 + 5x+1 = 7

Вариант 7

Решите уравнение.

1) 25-х= 1/5 2) (2/5)4х + 1= (5/2)3х - 43) 3х + 2 + 4∙3х + 1 = 21

Вариант 8

Решите уравнение.

1) 6х-4=<Object: word/embeddings/oleObject1.bin> 2) 0,44 - 5х= 0,16∙ 3) 7∙5х– 5х+1= 10

Вариант 9

Решите уравнение.

1) 75х+3= 1 2) (2/3)х∙(9/8)х= 27/64 3) 6х+1+ 35∙6х-1= 71

Вариант 10

Решите уравнение.

1) 2х∙5х=0,1∙(10х-1)3 2) 5<Object: word/embeddings/oleObject2.bin>- 2х - 1 = 25 3) 33x – 1 – 33x + 2 = –234

Подведение итогов урока.

применяли?

2х+4 – 2х = 120, 3х = 7 + х, 16∙2х-5 = 32.