Как показывает многолетний опыт работы в общеобразовательной школе, текстовые задачи на уроках алгебры не являются «любимыми».
Обычно все методические пособия, содержащие решение текстовых задач, адресуются учащимся 5 – 9 классов. Когда выпускников спрашивают, какие задачи их прежде всего волнуют, они единогласно говорят: текстовые задачи. И находят простой выход – попросту не приступают к их решению на ЕГЭ. Почему? Внимание текстовым задачам уделяется только до 9 класса, а потом только при подготовке к ЕГЭ. На этом работа с ними в школе заканчивается. Однако психика и житейский опыт детей в 9 классе таковы, что химия растворов, встречи грузовиков с легковыми автомобилями, производительность на заводах и в бассейнах, распродажи, скидки, прибыли их не интересуют, а потому всё это для них непонятно, а потому и неинтересно. Интерес возникает позже, ближе к экзаменам, а «хватка» исчезла. Приходится начинать всё заново.
Решение любой текстовой задачи состоит из двух частей: логической и математической. Чаще всего наибольшей проблемой является первая часть. Здесь требуется житейский опыт, умение логически мыслить, рассуждать, умение перевести происходящее на язык уравнений и неравенств. Задача, которая под силу далеко не каждому! Вторая часть текстовых задач более понятна учащимся – это чисто математическая задача: решить полученные уравнения или неравенства. Затруднения встречаются, если возникают нестандартные ситуации:
Когда число уравнений меньше числа неизвестных (выход часто в том, что на «лишнее» неизвестное можно просто сократить, или в задаче требуется найти какое-то отношение, которое и надо ввести в качестве переменной)
Когда надо выискать из условия задачи какие-то дополнительные ограничения, которые сформулированы «не очень ясно» (обычно это задачи, в которых решение надо искать в целых или натуральных числах)
Какой же выход из сложившейся ситуации? Мы решили попробовать упростить как раз логическую составляющую текстовых задач. Потому что чисто математические выкладки более-менее старательный ученик умеет делать, а вот составить правильную математическую модель ситуации, описанной в задаче, затрудняется.
Во всех рассматриваемых ниже задачах используются прямые формулы пути, работы и т.д.
Задачи:
Один автомобиль проходит в минуту на 240 м больше, чем другой, поэтому затрачивает на прохождение 1 км на 12,5 сек меньше. На сколько метров первый автомобиль увеличивает расстояние от второго пока второй проходит 1 км.
Решение: В этой задаче удобно взять размерность м/мин.
Составим таблицу
V (м/мин) | t (мин) | S (м) | |
I | t | 1000 | |
II | Х | t + | 1000 |
Определим, что надо найти:
Второй проходит 1000 м за (t + )мин, за это время первый пройдёт )(t + )м. Тогда искомая величина )(t + ) – 1000=?
Так как t + , то получим
) – 1000 = 1000 + – 1000 = . Эту величину и надо найти. Для того, чтобы её найти, надо определить х.
Составим систему: Выразим из каждого уравнения tи приравняем: разделим уравнение на 5.
Получим квадратное уравнение
Искомое расстояние
Ответ: 250 м
Два лыжника стартовали друг за другом с интервалом 15 минут. Второй лыжник догнал первого в 15 км от точки старта. Дойдя до отметки 50 км, второй лыжник повернул обратно и встретил первого на расстоянии 5 км от точки поворота. Найти скорости лыжников.
Решение: Размерность можно взять любую.
А С Д В
15 км 5 км
50 км
Составим таблицу:
V | T | S | ||
AC | I | x | 15 | |
II | y | 15 | ||
Отсчёт от точки С | I | x | ||
II | y |
Найти надо х и у.
Соблюдая баланс, составим систему:
Избавимся от переменных . Из второго уравнения выразим tи подставим в первое, а третье разделим на четвёртое. Получим систему двух уравнений с двумя переменными:
Раскроем скобки в первом уравнении, получим
Ответ: 15 км/ч, 20 км/ч.
Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста. Когда второй проехал половину пути, первому оставалось проехать до пункта В 14 км, а когда первый прибыл в пункт В, второй находился от пункта А за 10,5 км. На каком расстоянии от пункта А велосипедисты встретились?
Решение: Находился за 10,5 км означает не доехал до пункта А 10,5 км.
Составим таблицу, с учётом двух отсечек времени:
Учитываем, что S>14.
V(км/ч) | t (ч) | S (км) | ||
Первая отсечка времени | I | x | ||
II | y | |||
Вторая отсечка времени | I | x | ||
II | y | |||
I | x | |||
II | y |
Составим систему:
Получили систему из шести уравнений с семью неизвестными. Дисбаланс?Разделим первое уравнение на второе, третье – на четвёртое, пятое – на шестое. Получим
Получили три уравнения и три неизвестные .
Приравняем первое и второе уравнения:
Приравняем первое и третье уравнения:
Ответ : 24 км.
Пассажирский поезд вышел из пункта А в пункт В. Через 26 часов навстречу ему из В вышел скорый поезд, и ещё через 4 часа поезда встретились. За сколько часов каждый поезд проходит путь между этими городами, если известно, что скорому поезду для этого требуется на 12 часов меньше, чем пассажирскому?
Решение: В этой задаче удобно взять расстояние между А и В за 1.
Составим таблицу:S - расстояние от пункта А до места встречи
V(АВ/ч) | t (ч) | S (АВ) | |
Пассажирский | x | 26+4=30 | S |
Скорый | y | 4 | 1-S |
Пассажирский | x | t+12 | 1 |
Скорый | y | t | 1 |
Найти надоt и (t+12)
Составим систему:
Выполним сложение первого и второго уравнений:
Выразим х и у из третьего и четвёртого уравнений и подставим в последнее уравнение:
Получим
Ответ: 24 ч, 36 ч.
Два спортсмена бегают по одной замкнутой дорожке стадиона, скорость каждого постоянна, а на преодоление всей дорожки один тратит на 5 сек больше второго. Если они начинают бег с общего старта одновременно и в одном направлении, то снова окажутся рядом через 30 сек. Через какое время они встретятся, если побегут одновременно с общей линии старта в противоположных направлениях?
Решение: Длину замкнутой дорожки возьмём за 1.
Пусть первый бегает быстрее второго, т.е. х>у.
V(дор/сек) | T (сек) | S (дор) | ||
I | X | t | 1 | |
II | Y | t+5 | 1 | |
I | X | 30 | 1+S | |
II | Y | 30 | S | |
I | X | |||
II | Y |
Найти надо
Составим систему:
Выразим t из первого уравнения и подставим во второе уравнение, получим
Выразим Sиз третьего уравнения и подставим в четвёртое уравнение, получим
Выполним сложение пятого и шестого уравнений, получим
Выразим Значит, чтобы найти , надо найти х и у.
Чтобы найти х и у, решим систему из первых двух уравнений:
Выразим у из второго уравнения и подставим в первое уравнение.
Умножим уравнение на 30
Умножим уравнение на :
Ответ: 6 сек.
Два грузовых автомобиля должны были перевезти некоторый груз в течение 20 часов. Однако работу смог начать только первый автомобиль. До прибытия второго он перевёз 80% груза. Остальную часть груза перевёз второй автомобиль и весь груз был перевезён за 36 часов. Сколько времени нужно было каждому автомобилю в отдельности для перевозки всего груза?
Решение: Весь груз берём за 1.
V (груз/ч) | t (ч) | A (груз) | |
вместе | x+y | 20 | 1 |
I | x | T | 0,8=⅘ |
II | y | 36-t | 0,2=⅕ |
Найти надо .
Составим систему:
Выразим t из второго уравнения и подставим в третье уравнение, получим систему из двух уравнений:
Решим обычным способом подстановки.
Подставим во второе уравнение
Ответ: 30 ч, 60 ч.
На расстоянии 100 км первый автомобиль расходует бензина на 2 л больше, чем второй. Расходуя 1 л бензина, он проходит по этой дороге на 2,5 км меньше, чем второй. Каков расход бензина каждого автомобиля на расстоянии 100 км?
Решение: Задача решается просто, если взять необычные единицы измерения: V – число километров, пройденные на 1 литре бензина, t – число израсходованных литров бензина, А – число пройденных километров.
V (км/л) | t (л) | A (км) | |
«плохой» автомобиль | x | t+2 | 100 |
«хороший» автомобиль | x+2,5 | t | 100 |
Надо найти t и (t+2).
Составим систему:
Так как надо найти t, то избавимся от х.
Ответ: 8 л.
По плану одной бригаде нужно изготовить на 240 деталей больше, чем другой за то же время. Ввиду того, что в первой бригаде не работало 5 человек, а во второй – 4 человека, каждая бригада выполнила план на 2 дня позднее. Сколько рабочих выходило на работу в каждой бригаде, если каждый из них изготовлял по 6 деталей в день?
Решение: Пусть n – количество рабочих в первой бригаде, а m– количество рабочих во второй бригаде.
Составим таблицу:
V (дет/день) | t (день) | A (дет) | |
I | 6n | T | A+240 |
II | 6m | T | A |
I | 6(n-5) | t+2 | A+240 |
II | 6(m-4) | t+2 | A |
Найти надо (n-5) и (m-4).
Раскроем скобки в третьем и четвёртом уравнениях:
Из первого и второго уравнений получим
Получим систему:
Умножим первое уравнение на второе:
Ответ: 20 чел., 16 чел.
Укажите все значения n, для которых сумма n последовательных членов арифметической прогрессии 25; 22; 19; …, начиная с первого, не меньше 66.
Решение:
Найти надо n.
С учётом того, что n– натуральное число, запишем ответ.
Ответ: 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14.
Какое наибольшее значение может принять сумма первых n членов арифметической прогрессии 68; 65; 62; … ?
Решение:
Рассмотрим функцию
Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Абсцисса вершины параболы
23 ближе к
Значит, значение функции при х=23 будет больше,
чем при х=24.
Значит,
=805
Ответ: 805
Сколько членов содержится в возрастающей арифметической прогрессии, у которой сумма членов с нечётными номерами составляет 52% суммы членов всей прогрессии.
Решение:
Так как прогрессия возрастающая, то . Найти надо n.
Рассмотрим два случая:
n=2k (чётное количество членов)
Каждое слагаемое первой суммы меньше, чем соответствующее слагаемое второй суммы, т.к. прогрессия возрастающая. Значит,
Но по условию, т.е. сумма членов с нечётными номерами составляет больше половины всей суммы Значит, этот случай не подходит.
n=2k+1 (нечётное количество членов)
Количество членов с чётными номерами равно
Разность каждой прогрессии 2d.
Тогда
Подставим в условие
Ответ : 25
