Методические рекомендации по подготовке к выполнению заданий ЕГЭ с развёрнутым ответом (№13-18).
До 2002 года выпускники сдавали традиционный письменный экзамен по алгебре и началам анализа и геометрию (устный экзамен). Всесоюзная Ассоциация учителей математики в научно - методических журналах «Математика в школе» и «Квантор» регулярно давала рекомендации по оформлению письменного задания, где чётко было разъяснено, ЧТО считать за ошибку, и ЧТО за недочёт решений. Поэтому при изучении соответствующих тем мы обращали внимание на равносильность преобразований, безупречность выкладок, эстетичность работ (особенно медальных).
Кроме того, существовали жёсткие требования по оформлению письменных работ:
Записи выполнены аккуратно и чётко.
Работа не должна была содержать помарок, исправлений.
Каждая строка является логическим продолжением предыдущей
Все преобразования аргументированы.
Предложения полные.
Орфографическая ошибка, допущенная в математическом термине, приравнивалась к математической ошибке и т.д.
Мы сейчас не будем обсуждать хорошо или плохо наличие жёстких требований, предъявляемых к работам выпускников в то время. Однако, и сейчас за каждое задание эксперт по проверке заданий с развёрнутым ответом обязан выставлять максимальный или минимальный балл согласно представленным критериям.
Мы, учителя, должны помочь выпускнику получить максимальное количество баллов за те задания, которые он может выполнить. Т.е. при изучении той или иной темы предъявлять именно такие требования к выбору методов решения, к аргументации своих выкладок, к оформлению решенного задания, чтобы эксперт не разбирался в корявых записях: решил или не решил? 0 баллов или всё же 1 балл можно поставить? Корректно или некорректно произвёл преобразования?
Критерии достаточно жестко держат эксперта в представленных рамках.
Рассмотрим несколько заданий. №13 Тригонометрическое уравнение.
Пример 1. а) Решите уравнение 2+ б) Найти корни уравнения на отрезке .
Чаще всего можно увидеть следующие преобразования уравнения:
2 ( =0,5 или 2 ( =0,5
После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получается уравнение =0,5.
Хорошо, если при решении этого простейшего уравнения не будет потерян знак, т.е. не будет затем потерян корень уравнения (что в противном случае такое решение принесёт 0 баллов). Затем получается совокупность двух уравнений:
Необходимо решить каждое уравнение. Получается 2 блока ответов. Выпускники даже не пытаются найти общую формулу полученных ответов! Так и производят потом затем отбор корней. На каждом этапе в проверяемых работах можно обнаружить ошибки. И в результате те же 0 баллов. А ведь можно многих ошибок избежать, если применять формулу понижения степени.
=0,5 =
2х =
Рекомендация №1: «Увидел степень - понижай» (применение формул понижения степени)
Пример 2. Решите уравнение =0.
О.Д.З. уравнения Как правило, далее следует запись, что
х +n Гораздо больше информации принесёт числовая окружность.
Решение: 2 +соsх=0 ( +1)=0 и ли
у Чаще всего о записи забывают или проверяют
Х полученные корни, подстановкой в ОДЗ. На окружности
же хорошо видно, что множество решений уравнения
- справедливо только для а х = - +2n
Рекомендация №2: О.Д.З. тригонометрического уравнения обязательно необходимо показать на окружности! Только после этого приступать к решению уравнения.
Пример 4: ⋅(2 =0. Решение начинаем с записи О.Д.З.: и обязательно покажем на окружности, что это точки I и III четверти! у
- - х
-
Переходим к анализу уравнения: Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю (а другой при этом не теряет смысл), т.е. или 2 =0. Множество корней первого уравнения х= =n удовлетворяет ОДЗ уравнения.
-не удовлетворяет ОДЗ, поэтому нет необходимости в его решении. А рассматривая решение уравнения и учитывая ОДЗ, делаем вывод, что лишь х= - +2 является решением уравнения. Пишем ответ.
Отбор корней уравнения, принадлежащих отрезку, часто проводится не совсем корректно. Проверяют несколько значений n , и сразу пишут ответ. Такие рассуждения приводят к правильному ответу, однако, их следует считать недостаточными, т.к. не учтены другие значения n. А это значит, что максимального балла выставить нельзя. Краткие пояснения (даже достаточно упоминания) того, что при остальных значениях n получаем числа, не принадлежащие данному отрезку, уже дают основание считать, что выпускник понимает суть задания.
Пример 4 а) Решите уравнение cos 2x = 1- cos (.б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку Решение. а) После преобразований приходим к выводу, что sinx=0 или sinx=.
Понятно, что решением первого уравнения будет х= и второго х=+ n
б) Отбор корней можно проводить на окружности, двойным неравенством, на графике и т.д. Всё же больше всего ошибок встречается в работах учащихся, которые производят отбор корней уравнения на окружности или на числовой прямой. Проверяя работы выпускников (а я являюсь областным экспертом по проверке заданий с развёрнутым ответом с 2003года), могу ответственно утверждать: ни у одного выпускника я не встретила ошибку отбора корней, если использовали метод нахождения n и к решая двойное неравенство. 1); 2) ;
3)
Пример 4. Допустим, что, решая тригонометрическое уравнение, пришли к простейшему уравнению: cos x = , Решением уравнения является множество х= + n.
Если промежуток задан «не совсем подходящий» для работы с окружностью, то можно предложить произвести отбор корней уравнения, используя числовую прямую. Иногда в работах вообще никаких рассуждений нет, просто выпускник представляет набор корней. Конечно, такой подход поощрять нельзя. Однако, если ответ очевиден, то эксперт может засчитать его как правильный.
Например, х= + n. На отрезке х=
Рекомендация 3: Владеть необходимо всеми способами отбора корней, к каждому промежутку подходить «индивидуально»:
-используем числовую окружность.
Другие промежутки – двойное неравенство.
Если промежуток задан «не совсем подходящий» для работы с окружностью, то можно предложить отбор, используя числовую прямую.
Критерии проверки и оценки решений задания №14 .
Баллы | |
Имеется верное доказательство пункта а) И обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
Имеется верное доказательство пункта а) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Стереометрическая задача позиционируется как задача для большинства успевающих учеников, а не только для избранных. Поэтому она достаточно простая, решить её возможно с минимальным количеством геометрических построений и технических вычислений. Однако за последние годы прослеживается тенденция «не решаемости» задания №14. В ходе проверки встречались такие записи: «Решение: а) у меня не получилось, но если использовать а) при решении б), то получается…» (и далее верное, достаточно обоснованное решение). Эксперт имеет право выставить 1 балл. Позиция разработчиков КИМ состоит в том, что в первую очередь необходимо поощрять за достижения, а не наказывать за промахи. Тем не менее, в последнее время всё чаще приходится ставить 0 баллов! Иногда и ответ правильный, но автор явно не имеет геометрического представления о происходящем: недостаточно обоснованные объяснения; пояснений нет, аргументации нет, ссылок на соответствующие теоремы нет, чертёж выполнен не соблюдая законов параллельного проектирования и т.д. Но ведь нет никакого запрета на применение формул, не изучаемых в курсе геометрии 10-11 класса (речь идёт о некоторых формулах координатно - векторного способа). Во многих школах ведутся элективные курсы, где выпускники знакомятся с применением координатно-векторного способа при нахождении расстояния между точкой и плоскостью или между прямыми и плоскостями в пространстве и т.д. Поэтому, если у ученика 11 класса имеются серьёзные проблемы с пониманием определений, с чтением или построением сложного рисунка, если никак не удаётся подобрать необходимые дополнительные построения, то рекомендация 4: стоит заняться изучением координатно-векторного способа! Метод координат - весьма эффективный и универсальный способ нахождения любых углов или расстояний между стереометрическими объектами в пространстве. Достоинство метода координат состоит в том, что его применение избавляет от необходимости прибегать к наглядному представлению сложных пространственных конфигураций.
Критерии проверки и оценки решений задания №15
Баллы | |
Обоснованно получен верный ответ | 2 |
Обоснованно получен верный ответ, отличающийся от верного ответа включением/исключением точек в ответе ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Заметим, что 1 балл это не есть половина оценки «2 балла».
Пример1 (представлено решение выпускника из реального ЕГЭ):
Решение: t = , тогда 3 - t- , ≥0, .
Значит, t или -2≤ t ≤1. Возвращаясь к х, получаем:
или -2 ≤ ≤1. Ответ: (0;
«Обоснованно получен верный ответ»: сразу заметим, что решение уж очень лаконичное. И как раз обоснованности решения явно не хватает: отсутствует ОДЗ для значений «х»; отсутствует упоминание о характере монотонности логарифмической функции, поэтому не обоснован переход от логарифмического неравенства к алгебраическому неравенству. Но выпускник явно понимает вопрос. Поэтому 1 балл или 2 балла - принимает решение эксперт.
Учитывая критерии («Обоснованно получен верный ответ, отличающийся от верного ответа включением/исключением точек в ответе»), то если бы включены были точки х=0 или х= выставлено было бы 0 баллов,
а если бы речь шла о х= , то 1 балл.
Редко можно увидеть решение неравенства обобщённым методом интервалов. Если применить этот метод к выше рассмотренному неравенству, то решение могло выглядеть следующим образом:
ОДЗ: х
0
=0;
Достаточно простое логарифмическое уравнение решается введением новой переменной. Корни: или 2.
0 2 х
1 4
Проверяем справедливость неравенства в полученных промежутках:
а) х=4, 1 ≥ неверно:
б) х=1, верно и т.д.
и пишем ответ.
Преимущества применения этого метода:
Применяется если не ко всем видам неравенств, то к большинству неравенств (изучаемых в школьном курсе и выносимых на ЕГЭ).
Гораздо проще найти правильный ответ, т.к. нет необходимости следить за равносильностью преобразований неравенства.
Нет потери одиночных точек, в которых неравенство справедливо.
Можно применять к тригонометрическим неравенствам (на окружности).
В качестве иллюстрации рассмотрим неравенство: (
Решение.
ОДЗ: х≠ +πn, n.
( или Показать корни на окружности не вызывает особой трудности у выпускников.
х
-
Проверяем справедливость неравенства на промежутке: при х=0 неравенство верно, т.е. промежуток является решением неравенства. Затем по закону метода интервалов следующим промежутком, где неравенство справедливо, является и далее . Ответ получен.
Рекомендация 5: Применение обобщенного метода интервалов – гарантия решения задания №15.
