Решение планиметрических задач по теме «Окружность».

Конспект урока.

Тема: Решение планиметрических задач по теме: «Окружность».

Актуальность. Анализ результатов ОГЭ, диагностических работ по математике показывает, что процент выполнения геометрических заданий (2-ой части) достаточно низкий. Большинство обучающихся не приступает к их решению. Проблемной зоной решения геометрических задач является, помимо математической подготовки, неумение связано и логично излагать свое решение, доказывать и обосновывать его основные шаги.

Цель работы на уроке:

Образовательная: Систематизировать знания учащихся по ключевым разделам планиметрии. Создать содержательные и организационные условия для применения школьниками комплекса знаний для решения задач по теме «Окружность», включаемых в материалах ОГЭ.

Развивающая: Развивать личностно-смысловые отклонения учащихся к изучаемому предмету. Способствовать формированию коллективной и самостоятельной работы, формировать умение четко и ясно излагать свои мысли.

Воспитательная: Развитие межличностного общения в группе, способности обобщать, развитие самоконтроля.

Задачи:

Тип урока: Повторение, обобщение и систематизация знаний.

Технология урока: Дифференцированного обучения, групповая.

Ход урока:

1уровень - 4 варианта по 2 задачи;

2уровень - 2 варианта по 2 задачи (1 вариант - 1 и 2 группа, 2 вариант 3 и 4 группа).

3уровень – 1 вариант для всех групп.

На столах у детей так же находится раздаточный материал (приложение 4) и чек – лист (приложение 2) для оценки результатов работы группы. Учитель рекомендует в группе совместно обсудить план выполнения заданий и распределить работу между членами группы.

По результатам проверки учащиеся заполняют чек-лист. Комментарии: задача 1 уровня 1 балл, 2 уровня 2 балла и 3 уровня 3 балла. Итого 9 баллов.

Приложение 1

Задачи 1 уровня

1. Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке К. Найдите КА, если КВ = 6 см, КС = 8 см, КD = 3 см.

Решение: AК ∙ КВ = СК ∙ КD; AК ∙ 6 = 8 ∙ 3; AК = 4

Ответ: 4

2. Точки А и В делят окружность на две дуги, длины которых относятся как 4:8. Найдите величину центрального угла, опирающегося на меньшую из дуг.

Решение: 4х + 8х = 360

х = 30

АОВ = 4 ∙ 30 = 120 Ответ: 120

3. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OCD равен 30°. Найдите величину угла OAB.

Решение: Угол OCD вписанный, опирается на дугу ВD.

Угол ОАВ также вписанный и опирается на ту же дугу BD, следовательно, тоже равен 30°. Ответ: 30

4. Радиус вписанной в квадрат окружности равен  Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Решение: Сторона квадрата вдвое больше радиуса вписанной в него окружности. Поэтому АВ=

Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен половине его диагонали. Поэтому Ответ: 4

5. Центральный угол AOB опирается на хорду AB длиной 6. При этом угол OAB равен 60°. Найдите радиус окружности.

Решение: ОА=ОВ=R, значит треугольник АОВ равнобедренный, т.к. угол ОАВ=60, то равносторонний, следовательно, R=АВ=6Ответ: 6

6. Прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см вписан в окружность. Чему равен радиус этой окружности?

Решение: Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы. По теореме Пифагора

Значит R = 13/2=6,5Ответ: 6,5

7. В угол C величиной 157° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках A и B, точка O  — центр окружности. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

Решение: т.к. СА и СВ касательные к окружности, то САОА и СВОВ. В четырехугольнике АОВС сумма углов равна 360, значит АОВ = 360 – 157 – 180=23Ответ: 23

8. Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 16. Найдите высоту этой трапеции.

Решение: высота трапеции равна диаметру вписанной окружности, т.е.

Ответ: 32

Задачи 2 уровня

Решение: Угол АСВ – вписанный, он равен половине дуги АВ. Уго АОВ – центральный, опирается на ту же дугу. Проведём радиусы ОА и ОВ в точки касания. Сумма углов в четырёхугольнике АОВД равна 360. Поэтому

Ответ: 55

Решение: АХ = 5; по т. ПифагораОА = =13

ОА = ОС = 13

по т. ПифагораСY =

CD = 24

Ответ: 24

Решение: Т.к. треугольник равнобедренный, то центр описанной окружности лежит на высоте, проведенной к основанию. ОА = ОВ = R = 5

ОН = 8 – 5 = 3. По т. Пифагора

ВН также является медианой, значит СА=2АН=8

Ответ: 32

Решение: Т.к. в трапецию можно вписать окружность, то суммы противоположных сторон трапеции равны.

Т.к. трапеция – прямоугольная, то АВ = h

АВ + CD = ВС + AD = 26

<Object: word/embeddings/oleObject1.bin>

Ответ: 130

Задачи 3 уровня

Окружность радиуса 4 касается внешним образом второй окружности в точке В.  Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку В пересекается с некоторой другой их общей касательной в точке A. Найдите радиус второй окружности, если АВ = 6.

Решение: Обозначим центры первой и второй окружностей за О1  и О2 а точки касания, с общей касательной, не проходящей через точку В за M  и N. Прямоугольные треугольники АО1М  и АО1В  равны по катету и гипотенузе. Аналогично, равны треугольники АО2N  и AO2B . Значит, прямые O1A   и O2A  являются биссектрисами углов  MO1B и NO2B  соответственно. Прямые MO1  и NO2  параллельны, поэтому сумма углов  MO1B и NO2B равна 180°, а сумма углов  AO1B и AO2B  равна 90°, то есть треугольник O1O2A  — прямоугольный. Поскольку AB  — высота, проведённая к гипотенузе, треугольники AO1B  и AO2B  подобны. Значит, 

Ответ: 9

Приложение 2

Чек-лист по решению задач по теме:

«Окружности».

№ группы_______________________________________

Уровень 1____баллы____________________________

Уровень 2____баллы____________________________

Уровень 3____баллы____________________________

РЕЗУЛЬТАТ_____________

Чек-лист по решению задач по теме:

«Окружности».

№ группы_______________________________________

Уровень 1____баллы____________________________

Уровень 2____баллы____________________________

Уровень 3____баллы____________________________

РЕЗУЛЬТАТ_____________

Чек-лист по решению задач по теме:

«Окружности».

№ группы_______________________________________

Уровень 1____баллы____________________________

Уровень 2____баллы____________________________

Уровень 3____баллы____________________________

РЕЗУЛЬТАТ_____________

Приложение 3.

Карточки с домашним заданием.

Приложение 4.